Question

如图所示，在真空中的竖直平面内，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B，A球的电荷量为+4q，B球的电荷量为-3q，组成一带电系统．虚线MN与PQ平行且相距3L，开始时PQ恰为杆的中垂线．在MN与PQ间加竖直向上的匀强电场，恰能使带电系统静止不动．现使电场强度突然加倍（已知当地重力加速度为g），求：
（1）B球刚进入电场时的速度v₁的大小；
（2）B球的最大位移及从开始静止到最大位移处B球电势能的变化量；
（3）带电系统运动的周期T．

Answer

（1）带电系统静止时，A所受的电场力与总重力平衡，由二力平衡得出电场强度的表达式．电场强度突然加倍后，系统向上做匀加速直线运动，电场力对A作正功，重力做负功，由动能定理求出B球刚进入电场时的速度v1的大小；
（2）B球进入电场后，系统做匀减速直线运动，从开始到A刚运动到MN线时，电场力对系统做功为2E•4q•2L-2E•3q•L=10qEL，系统克服重力做功为2mg•2L=8qEL，则电场力对系统做功大于系统克服重力做功，说明A到达MN线时系统仍有向上的速度，则A将越过MN线，根据动能定理求出B球在电场中最大位移．根据电场力对B球做的功，分析B球的电势能的变化量．
（3）系统向上运动分为三阶段：第一阶段匀加速运动：从系统开始向上运动到B球刚进入电场过程，系统做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出加速度，由初速度0和末速度v1，由速度公式求出运动的时间．第二阶段匀减速运动：从B球进入电场到A刚出电场，系统做匀减速直线运动，此过程通过的位移等于L，由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出此过程运动的时间；第三阶段匀减速运动：A出电场后，系统做匀减速直线运动，由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出此过程运动的时间，最后求出总时间．
【解析】

（1）设带电系统静止时电场强度为E，则有2mg=4qE，解得    ①
  电场强度加倍后，系统从开始静止到B进入电场，根据动能定理有
        ②
  联立①②得B球刚进入电场时的速度
（2）设B球在电场中的最大位移为s，经分析知A球向上越过了MN，
根据动能定理得
  对整个过程：2E•4q•2L-2E•3q•s-2mg（s+L）=0
  解得s=1.2L  
 故B球的最大位移s总=2.2L
 电场力对B球做功W=-2E•3q•1.2L=-3.6mgL
 所以B球电势能增加3.6mgL
（3）带电系统向上运动分为三阶段：
第一阶段匀加速运动，根据牛顿第二定律有
   ，运动时间；
第二阶段匀减速运动，同理可得a2==
   设A球出电场时速度为v2，根据运动学公式有：v22-v12=-2a2L，
   解得，；
第三阶段匀减速运动，，
则运动周期
答：（1）B球刚进入电场时的速度v1的大小为；
    （2）B球的最大位移为2.2L，从开始静止到最大位移处B球电势能增加3.6mgL；
    （3）带电系统运动的周期．