Question

如图所示，地面和半圆轨道面PTQ均光滑．质量M=1kg、长L=4m的小车放在地面上，右端与墙壁的距离为S=3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（不计大小）以vo=6m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动．小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/S²．求：
（1）滑块在小车上运动的过程中，滑块和小车的加速度大小分别为多少？
（2）判断小车与墙壁碰撞前是否已与滑块相对静止，并求小车与墙壁碰撞时滑块的速度．
（3）若滑块在圆轨道滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径R的取值范围．

Answer

（1）分别对物块和小车运用牛顿第二定律即可求解加速度；
（2）假设小车与墙壁碰撞前有共同速度，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出此过程中滑块与小车的相对位移，判断小车与墙壁碰撞前滑块与小车的速度是否相同，并求出小车与墙壁碰撞时的速度；
（2）若滑块恰能滑过圆的最高点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出滑块经过最高点时的速度，根据动能定理求出轨道半径；若滑块恰好滑至圆弧到达T点时就停止，滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．根据动能定理求解半径，即能得到半径的条件．
【解析】
（1）由牛顿第二定律得：
对木块有：-μmg=ma1解得：
对小车有：μmg=Ma2解得：
（2）设滑块与小车的共同速度为v1，滑块与小车相对运动过程中动量守恒，有
  mv=（m+M）v1 
代入数据解得
  v1=4m/s 
设滑块与小车的相对位移为 L1，由系统能量守恒定律，有
  μmgL1=-
代入数据解得   L1=3m 
设与滑块相对静止时小车的位移为S1，根据动能定理，有
  μmgS1=-0
代入数据解得S1=2m 
因L1＜L，S1＜S，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，且共速时小车与墙壁还未发生碰撞，故小车与碰壁碰撞时的速度即v1=4m/s．
（2）滑块将在小车上继续向右做初速度为v1=4m/s，位移为L2=L-L1=1m的匀减速运动，然后滑上圆轨道的最低点P．
若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为
  mg=m
根据动能定理，有
-μmgL2-mg•2R=
联立并代入数据解得R=0.24m 
若滑块恰好滑至圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．
根据动能定理，有
-μmgL2-mg•R=0-
代入数据解得R=0.6m 
综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径必须满足
R≤0.24m或R≥0.6m 
答：（1）滑块在小车上运动的过程中，滑块的加速度大小为2m/s2，小车的加速度大小为4m/s2；
（2）小车与墙壁碰撞时的速度是4m/s；
（3）要滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径R的取值为R≤0.24m或R≥0.6m．