Question

2010 年上海世博会某国家馆内，有一“自发电”地板，利用游人走过此处，踩踏地板发电．其原因是地板下有一发电装置，如图（ l ）所示，装置的主要结构是一个截面半径为 r、匝数为 n 的线圈，无摩擦的套在磁场方向呈辐射状的永久磁铁槽中．磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，图（ 2 ）为横截面俯视图．轻质地板四角各连接有一个劲度系数为 k 的复位弹簧（图中只画出其中的两个），轻质硬杆P将地板与线圈连接，从而带动线圈上下往返运动（线圈不发生形变），便能发电．若线圈所在位置磁感应强度大小为 B，线圈的总电阻为 R，现用它向一个电阻为 R 的小灯泡供电．为便于研究，将某人走过时对板的压力使线圈发生的位移 x 随时间 t 变化的规律简化为图（ 3 ）所示．（弹簧始终处在弹性限度内，取线圈初始位置 x=0，竖直向下为位移的正方向）
①请在图（ 4 ）所示坐标系中画出线圈中感应电流 i 随时间 t 变化的图象，取图（ 2 ） 中逆时针电流方向为正方向，要求写出相关的计算和判定的过程
②t=时地板受到的压力
③求人踩踏一次地板所做的功．

Answer

（1）由右手定则可知线圈中电流的方向，由图可知线圈做匀速直线运动，则由E=BLV可求线圈的电动势，闭合电路欧姆定律可得出电流的大小，则可得出电流随时间变化的图象；
（2）由安培力公式求得是时刻线圈受到的安培力，则由受力平衡可求得地板受到的压力；
（3）在踩踏过程中弹力做功为零，则人做的功转化为电能，由能量守恒可求得人所做的功．
【解析】
（1）由右手定则可知，0～t时刻电流方向沿正方向，t0～2t时刻电流方向沿反方向；
线圈在磁场中运动的速度为v=
故电动势的大小均为：E=nB2πrv
I=
解得电流I=
电路如图所示：

（2）0～t时刻，线圈内安培力方向向上，且F安=nBI•2πr=；
时刻地板受到的压力FN=4k+F安；
得地板受到的压力FN=2kx+；
（3）全过程中弹力做功为零，则由功能关系可得：
人做的功：W=E电=I2（R+R）2t=；