Question

重力势能E_P=mgh实际上是万有引力势能在地面附近的近似表达式，其更精确的表达式应为．式中的G为万有引力恒量，M为地球质量，m为物体的质量，r为物体到地心的距离，并以无限远处的引力势能为零势能．一颗质量为m的地球卫星，在离地高度为H处环绕地球做匀速圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球质量未知．
试求：
（1）卫星做匀速圆周运动的线速度；
（2）卫星的引力势能；
（3）卫星的机械能；
（4）若要使卫星能飞离地球（飞到引力势能为零的地方），则卫星至少要具有多大的初速度从地面发射？

Answer

（1）卫星在离地高度为H处环绕地球做匀速圆周运动，据万有引力提供向心力，列出等式，根据根据在地面附近物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，列出等式，两等式结合求解．
（2）根据万有引力势能的表达式求解．
（3）卫星的机械能应该是动能和势能之和．
（4）根据能量守恒，要使卫星能飞离地球，动能转化为引力势能进行求解．
【解析】
（1）卫星在离地高度为H处环绕地球做匀速圆周运动，据万有引力提供向心力，列出等式：
=…①
根据根据在地面附近物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，列出等式：
=mg…②
由①②得：v=R
（2）万有引力势能的表达式：…③
由②③得：卫星的引力势能：
（3）卫星的机械能应该是动能和势能之和．
所以E=Ek+Ep=-
（4）根据能量守恒，要使卫星能飞离地球，动能转化为引力势能，卫星在地面的引力势能是-，要飞到引力势能为零的地方，所以有：
m-=0
得：v=
答：（1）卫星做匀速圆周运动的线速度是R；
（2）卫星的引力势能是；
（3）卫星的机械能是-；
（4）若要使卫星能飞离地球（飞到引力势能为零的地方），则卫星至少要具有的初速度是．