Question

如图，有一半径为R=0.3m的光滑半圆形细管AB，将其固定在竖直墙面并使B端切线水平．一个可视为质点的质量为0.5Kg的小物体m由细管上端沿A点切线方向进入细管，从B点以速度V_B=4.0m/s飞出后，恰好能从一倾角为θ=37°的倾斜传送带顶端C无碰撞的滑上传送带．已知传送带长度为L=2.75m（图中只画出了传送带的部分示意图），物体与传送带之间的动摩擦因数为u=0.50，（取sin37°=0.60，cos37°=0.80，g=10m/s²，不计空气阻力，不考虑半圆形管AB的内径）．
（1）求物体在A点时的速度大小及对轨道的压力大小和方向；
（2）若传送带以V₁=2.5m/s顺时针匀速转动，求物体从C到底端的过程中，由于摩擦而产生的热量Q．

Answer

（1）物体从A运动到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，已知高度为2R，物体在B点的速度，根据机械能守恒定律求出物体在A点时的速度．在A点，由重力和轨道的弹力的合力提供物体的向心力，由牛顿运动定律求解物体对轨道的压力．
（2）物体从B点滑出后做平抛运动，滑上传送带时，速度沿传送带方向，与水平方向的夹角等于θ，作出速度分解图，求出物体落到传送带顶端C时的速度大小．由于传送带顺时针匀速转动，物体滑上传送带后，受到的滑动摩擦力沿斜面向上，由于μmgcosθ＜mgsinθ，物体向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式求出物体从C到底端的时间，并求解传送带相对于地运动的位移．物体摩擦而产生的热量Q=f•△x，物体与传送带相对位移△x是物体对地位移与传送带对地位移之和．
【解析】

（1）物体从A到B过程，根据机械能守恒定律得

得：vA=2m/s
设物体在A点所受轨道作用力为FA，
则由，可得：；
由牛顿第三定律得：物体在A点时对轨道的压力大小为1.67N，方向为：竖直向上   
（2）物体落到传送带顶端C时的速度大小为：

传送带顺时针匀速转动时，对物体施加的摩擦力沿传送带表面向上
则由牛顿第二定律得
    mg（sinθ-μcosθ）=ma，
可得物体匀加速运动的加速度大小为：a=2m/s2
由，得物体从C到底端的时间：t=0.5s
在此过程中，传送带相对地位移大小为s带=v1t
由于摩擦而产生的热量为Q=f•（L+s带）=μmgcosθ•（L+v1t）=8J
答：（1）物体在A点时的速度大小是2m/s，对轨道的压力大小为1.67N，方向为竖直向上；   
    （2）若传送带以V1=2.5m/s顺时针匀速转动，求物体从C到底端的过程中，由于摩擦而产生的热量Q=8J．