Question

如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑．
（1）求小球经过甲圆形轨道的最高点时小球的速度？
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象．试设计CD段的长度．

Answer

（1）小球从A运动甲圆形轨道过程中只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度．
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，一种可能是越过乙轨道的最高点，根据乙轨道最高点临界速度求出CD的临界值．一种可能越过乙轨道的最低点，但是越不过乙轨道圆心的等高处，根据动能定理求出CD的范围．
【解析】
（1）设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1．
由机械能守恒定律得：mgh=mg.2R+   
解得 
故小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度为．
（2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为 
∵∴小球能通过甲轨道而不撞轨
设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为
小球要通过乙轨道最高点，根据动能定理得： 解得：x=
所以x≤．
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，根据动能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0   解得：x=．
小球到乙轨的最低点速度恰好速度为0，根据动能定理得：mg3R-μmgx=0    解得：x=
所以≤x＜
故CD的长度x≤或≤x＜．