Question

质量m=1.0kg的甲物体与竖直放置的轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，如右图所示．质量m=1.0kg的乙物体从甲物体正上方，距离甲物体h=0.40m处自由落下，撞在甲物体上在极短的时间内与甲物体粘在一起（不再分离）向下运动．它们到达最低点后又向上运动，上升的最高点比甲物体初始位置高H=0.10m．已知弹簧的劲度系数k=200N/m，且弹簧始终在弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能；
（2）乙物体和甲物体碰撞后一起向下运动的最大距离．

Answer

（1）乙物体自由下落，由高度求出与甲碰撞前的速度，乙物体和甲物体碰撞过程中遵守动量守恒定律，根据动量守恒定律求出碰撞后两物体的速度，再求解碰撞过程中损失的动能．
（2）由胡克定律分别求出甲物体静止时和甲乙通过平衡位置时弹簧的压缩量，求出简谐运动的振幅A，根据简谐运动的对称性，分析甲乙向下运动的最大距离与振幅A、弹簧压缩量的关系求解．
【解析】
（1）设乙物体和甲物体碰撞前瞬间乙物体的速度大小为v1，
            根据v12=2gh    解得v1=2 m/s=2.8 m/s
         设乙物体和甲物体碰撞后的共同速度大小为v2，
            由动量守恒定律有mv1=2mv2
            解得v2=v1=m/s=1.4 m/s
        则碰撞后系统的动能Ek2= （2m）v22=2 J   
        甲、乙物体构成的系统碰撞前的动能Ek1=4 J，故乙物体和甲物体碰撞过程中损失的机械能
△E=Ek1-Ek2=2 J                
    （2）设甲物体静止时弹簧压缩量为x1，根据平衡条件，
           解得x1==5.0 cm
        甲和乙碰撞后做简谐运动，在通过平衡位置时两物体所受合力为零，速度最大，设此时弹簧压缩量为x2，
           解得x2==10 cm
        甲物体和乙物体一同上升到最高点，两物体与简谐运动平衡位置的距离，即简谐运动的振幅
           A=x2+（H-x1）=15 cm
      根据简谐运动的对称性可知，两物体向下运动的最大距离
          x=A+（x2-x1）=20 cm            
答：（1）乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能为2J；
    （2）乙物体和甲物体碰撞后一起向下运动的最大距离0 20cm．