Question

如图所示，圆盘可以绕过圆心垂直圆盘的竖直轴在水平面内匀速转动．圆盘半径R=0.4m，在圆盘边缘有一质量M=0.5kg的A物体，A通过长度L=0.7m的水平细轻绳穿过位于圆心的光滑轻质小定滑轮与质量m=0.29kg的B物体相连，轻绳与小孔间无摩擦．A物体与圆盘间的最大静摩擦力为其正压力的0.42倍．圆盘距地面高度H=0.5m．（g=10m/s²，AB两物体可视为质点） 
求：①为使物体A与圆盘间不发生相对滑动，圆盘转动的角度的范围大小多大？
②若当A与圆盘间的静摩擦力f=0.3N时，将OA段绳烧断，则当B落地瞬间A、B两物体的距离最大为多少？

Answer

①A做匀速圆周运动，绳子拉力与摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出角速度的范围．
②绳子断裂后，B做自由落体运动，A做平抛运动，应用自由落体运动规律与平抛运动规律可以求出A、B间的最大距离．
【解析】
①A受到的最大静摩擦力背离圆心时，角速度最小，
由牛顿第二定律得：mg-μMg=Mω12R，解得：ω1=2rad/s，
当A受到的最大静摩擦力指向圆心时，角速度最大，
由牛顿第二定律得：mg+μMg=Mω22R，解得：ω1=5rad/s，
角速度范围是2rad/s≤ω≤5rad/s；
②绳子断后，B做自由落体运动，
H-（L-R）=gt2，解得：t=0.2s，
对于A，若静摩擦力指向圆心，
由牛顿第二定律得：mg+f=M，解得：v1=1.6m/s，
若静摩擦力背离圆心，物体A的线速度为v2，mg-f=M，
显然由上述两个方程可得：v1＞v2，所以物体A以v1的速度平抛，当物体B落地时两者间距最大；
物体A做平抛运动，t=0.2s时间内，沿速度方向的位移为x，
下落的位移为y，则有：x=v1t，，解得：x=0.32m，y=0.2m，
所以此时A物体与地面的高度为：h=H-y=0.3m，
物体A、B间此时的距离为：；
答：：①为使物体A与圆盘间不发生相对滑动，圆盘转动的角度的范围是2rad/s≤ω≤5rad/s；
②若当A与圆盘间的静摩擦力f=0.3N时，将OA段绳烧断，则当B落地瞬间A、B两物体的距离最大为0.59m．