Question

如图所示的直角坐标系xoy中，在x＜0，y＞0的区域有一对平行金属板M和N，其中N板位于x轴上，M、N板加有如图所示电压，平行金属板右侧存在沿y轴负向与平行金属板等宽度的匀强电场，场强大小为E，在x＞0 y＞0的区域存在垂直纸面的矩形有界磁场，其下边界和左边界分别与Ox、Oy轴重合．t=0时刻一质量为m，电量为q的带电微粒沿着平金属板的轴线O₁O以初速度v向右开始运动，恰从M板右边缘的P点沿x轴正向进入平行金属板右侧电场，经过一段时间后以2v的速度经Q点进入磁场，Q点为O₁O₂与y轴的交点，再经磁场偏转带电微粒恰好从坐标原点O沿x轴负向返回电场，不计带电微粒的重力．求：
（1）平行金属板M、N间的距离d及右侧电场的宽度L；
（2）平行金属板上所加电压U满足的条件；
（3）矩形磁场区域的最小面积．

Answer

（1）研究带电粒子从P运动到Q的地过程：带电粒子做类平抛运动，初速度为v，到达Q点的速度为2v，即可求得Q点的速度与水平方向的夹角，得到竖直方向的分速度vy，=2，L=vt，求得d和L．
（2）由题意，画出带电粒子在平行金属板间的运动轨迹，粒子在电场中运动的侧向总位移应满足：=，其中n=1，2，3，…，L=v•nT，即可求出电压U满足的条件；
（3）画出带电粒子在磁场中的运动轨迹，由几何知识求出最小矩形磁场的长和宽，即可求出磁场的最小面积．
【解析】
（1）因带电微粒在P点速度沿x轴正向，则带电微粒在Q点的水平速度为v，设速度方向与水平方向的夹角为θ，有：
cosθ==，得θ=60°
在Q点的竖直方向分速度为vy=2vsinθ=
从P点到Q点，带电微粒做类平抛运动，则有
  =2
∴d=
L=vt=v•=v=
（2）由题，画出粒子在平行金属板间的运动轨迹，粒子在电场中运动的侧向总位移满足：
   =，其中n=1，2，3，…
又L=v•nT
由以上两式解得：U=（n=1，2，3，…）
（3）如图，设最大的矩形磁场的高为L1，宽为L2，画出带电粒子的运动轨迹，如图，则由几何知识可知：
   （）•cosθ=r，
∴r=
故L1=r（1+cosθ）=，L2=r
所以矩形磁场的最小面积为
   S=L1•L2===
答：
（1）平行金属板M、N间的距离d为，右侧电场的宽度L是；
（2）平行金属板上所加电压U满足的条件是：U=（n=1，2，3，…）；
（3）矩形磁场区域的最小面积是．