Question

如图所示，半径R=0.80m的光滑圆弧轨道固定在光滑水平面上，轨道上方A点有一质为m=1.0kg的小物块．小物块由静止开始下落后打在圆轨道上B点但未反弹，在瞬间碰撞过程中，小物块沿半径方向的分速度立刻减为零，而沿切线方向的分速度不变．此后，小物块将沿圆弧轨道滑下．已知A、B两点到圆心O的距离均为R，与水平方向夹角均为θ=30°，C点为圆弧轨道末端，紧靠C点有一质量M=3.0kg的长木板Q，木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.30，取g=10m/s²．求：
（1）小物块刚到达B点时的速度v_B；
（2）小物块沿圆弧轨道到达C点时对轨道的压力F_C的大小；
（3）木板长度L至少为多大时小物块才不会滑出长木板．

Answer

（1）物体由A到B的过程中，做自由落体运动，由几何关系可得出AB间的距离，由运动学公式可求得B点的速度；
（2）由速度的合成与分解可求B点切向分速度；由B到C由机械能守恒可求得C点的速度，再由牛顿第二定律可求得轨道对物体的支持力，由牛顿第三定律可求得物体对轨道的压力；
（3）物体滑上木板后，物体与木板的动量守恒，由动量守恒和机械能守恒可求得木板的最小长度．
【解析】
（1）由题意可知，ABO为等边三角形，则AB间距离为R，小物块从A到B做自由落体运动，根据运动学公式有：
vB2=2gR…①
代入数据解得：vB=4.0m/s；方向竖直向下 
（2）设小物块沿轨道切线方向的分速度为vB切，因OB连线与竖直方向的夹角为60°，故vB切=vBsin60°…②
从B到C，只有重力做功，据机械能守恒定律有：
mgR（1-cos60°）+mvB2=MvC2…③
在C点，根据牛顿第二定律有：Fc′-mg=m…④
代入数据解得：Fc′=35N
据牛顿第三定律可知小物块可到达C点时对轨道的压力
FC=35N   
（3）小物块滑到长木板上后，组成的系统在相互作用过程中总动量守恒，减少的机械能转化为内能，当小物块相对木板静止于木板最右端时，对应着物块不滑出的木板最小长度．根据动量守恒定律和能量守恒定律有：
mvc=（m+M）v…⑤
μmgL+mvC2-（m+M）v2…⑥
联立⑤、⑥式得：L=
代入数据解得：L=2.5m  
答：（1）B的速度为4.0m/s；（2）小物块沿圆弧轨道到达C点时对轨道的压力FC的为35N；（3）木板长度至少为2.5m．