Question

如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平面上不可移动．弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出．已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量为M=0.26kg，g=10m/s²，求：
（1）要使小球从d点抛出后不碰轨道，小球的初速度v需满足什么条件？
（2）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
（3）若v=3m/s，小球最终停在何处？

Answer

（1）小球离开d后做平抛运动，根据几何关系可知，只要下落3R过程水平位移超过R即碰不到轨道，然后利用动能定理即可求解．
（2）在c点对小球进行受力分析，依据向心力公式列方程，然后结合动能定理即可求解．
（3）先判断小球能否通过d点，若能通过根据平抛规律求解，若不能，根据功能关系求解．
【解析】
（1）设小球到达d点处速度为vd，由动能定理，得：
    ①
如小球由d点做平抛运动刚好经过图中的O点，则有
          ②
R=vdt            ③
联立①②③并代入数值得：．
小球的初速度v需满足：
故要使小球从d点抛出后不碰轨道，小球的初速度v需满足条件为：
（2）设小球到达c点处速度为vc，由动能定理，得
      ④
当小球通过c点时，由牛顿第二定律得：    ⑤
要使轨道对地面的压力为零，则有：F=Mg        ⑥
联立④⑤⑥并代入数值，解得小球的最小速度：v=6 m/s  
故当v至少为6m/s时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
（3）小球能通过d点，需满足vd≥0，由动能定理：

得：．
因，小球过不了d点而沿轨道原路返回，对整个过程由动能定理，有：

得：x=2.25m
故小球最终停在a右侧0.25m处．