Question

如图所示，B是质量为m_B、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质为m_A的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：m_B=2m_A．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用θ 表示，θ 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小（表示成θ 的函数）．

Answer

选A与B组成的系统为研究对象，由于只有重力和相互作用的弹力做功，系统机械能守恒，A的重力势能的减少量变成系统的动能增加量，由于A被固定在竖直方向，他仅具有竖直方向的速度，同样B的速度将沿着水平方向，两者速度之间的关系为：杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，其中A杆与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切．
【解析】
由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA．杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得VAsinθ=vA         （1）
VAcosθ=vB         （2）
因而，vB=vAcotθ         （3）
选AB组成的系统为研究对象，由能量守恒：
mAgRcosθ=mA+mB（4）
由（3）、（4）两式及mB=2mA得
vA=sinθ   （5）
 vB=cosθ  （6）
答：两物体速度为：vA=sinθ
vB=cosθ