Question

在地面上方足够高的地方，存在一个高度d=0.3m的“相互作用区域”（如图中划有虚线的部分）．一个小圆环A套在一根均匀直杆B上，A和B的质量均为m，若它们之间发生相对滑动时，会产生f=0.5mg的摩擦力．开始时A处于B的最下端，B竖直放置，A距“相互作用区域”的高度h=0.2m．让A和B一起从静止开始下落，只要A处于“相互作用区域”就会受到竖直向上的恒力F作用（F=2mg），而“相互作用区域”对处于其中的杆B不产生作用力．设杆B在下落过程中始终保持竖直，且杆的长度能够保证圆环A与杆不会分离．不计空气阻力，取g=10m/s²．求：
（1）杆B刚进人“相互作用区域”时的速度．
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间．
（3）A刚离开“相互作用区域”时，圆环A和直杆B的速度．
（4）假如直杆B着地时，A和B的速度刚好达到相同，这一速度是多少？

Answer

（1）A和B一起静止下落至“相互作用区域”的过程，重力做功2mgh，根据动能定理有：2mgh=，可求得杆B刚进人“相互作用区域”时的速度v1．
（2）A在“相互作用区域”运动时，受到竖直向下的重力mg、滑动摩擦力f和竖直向上的恒力F作用．根据牛顿第二定律求出其加速度aA1，由运动学公式d=和vA=v+aA1t1，求出圆环A通过“相互作用区域”所用的时间．
（3）在“相互作用区域”运动时，B受到竖直向下的重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用，由牛顿第二定律求得B的加速度，由速度公式求出B离开“相互作用区域”时的速度，根据AB速度的大小，分析两物体的受力情况，确定摩擦力的方向，再由牛顿第二定律和运动学结合求解共同速度．
【解析】
（1）设A和B一起静止下落至“相互作用区域”的速度为v1，根据动能定理有
    2mgh=，
代入数据解得：v1=2.0m/s 
（2）过程1：A在“相互作用区域”运动时，取方向向下为正方向，此过程中A受到竖直向下的重力mg、滑动摩擦力f和竖直向上的恒力F作用．
设加速度aA1、末速度为vA、运动时间为t1，根据牛顿第二定律有：
aA1=
根据运动学公式有：vA=v+aA1t1，d=
代入数据解出：t1=0.2s   t2=0.6s（不符题意，舍去）
（3）A离开“相互作用区域”时的速度为 vA=v+aA1t1=1m/s  
B受到竖直向下的重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用
同理有：aB1=
vB=v+aB1t1 代入数据：vB=3m/s
（4）过程2：A离开“相到作用区域”后，因为vA＜vB，所以A受到竖直向下的重力mg和滑动摩擦力f的作用，B受到竖直向下重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用．
设加速度分别为aA2、aB2，共同速度为v，运动时间为t2
则有：aA2=，aB2=
又v=vA+aA2t2，v=vB+aB2t2
由上述四式代入数据解得：v=4m/s 
答：
（1）杆B刚进人“相互作用区域”时的速度是2m/s．
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间是0.2m/s．
（3）A刚离开“相互作用区域”时，圆环A和直杆B的速度分别是1m/s和3m/s．
（4）假如直杆B着地时，A和B的速度刚好达到相同，这一速度是4m/s．