Question

如图（a）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心，半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v沿x轴正方向射入电场，飞出电场后恰能从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角30°，此时圆形区域加如图（b）所示周期性变化的磁场（以电子进入圆形区域开始计时，且磁场方向以垂直于纸面向外为正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴夹角也为30°．求：

（1）电子进入圆形区域时的速度大小；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小；
（3）写出圆形区域磁场的变化周期T、磁感应强度B的大小各应满足的表达式．

Answer

（1）电子在电场中作类平抛运动，离开电场时电子的速度方向与x轴夹角30°，，可求得电子进入圆形区域时的速度v．
（2）运用运动的分解法研究可知：电子竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，vy=vtan30°=at=，水平方向t=，联立可求出E．
（3）在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°，由几何知识得到在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于电子的轨迹半径R，由题意，粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：，由牛顿第二定律得到半径R=，联立得到磁感应强度B的大小表达式．电子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求，应满足的时间条件：，而T=，可求得T的表达式．
【解析】
（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，
由速度关系：
解得
（2）由速度关系得  
在竖直方向 

解得  
（3）在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，所以，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：

电子在磁场作圆周运动的轨道半径 
得  
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：
代入T的表达式得：
答：（1）电子进入圆形区域时的速度大小是；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小是；
（3）写出圆形区域磁场的变化周期表达式为、磁感应强度B的大小表达式是得
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