Question

一端弯曲的光滑绝缘杆ABD固定在竖直平面上，如图所示，AB段水平，BD段是半径为R的半圆弧，有电荷量为Q（Q＞0）的点电荷固定在圆心O点．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电小环套在光滑绝缘杆上，在水平外力作用下从C点由静此开始运动，到B点时撤去外力，小环继续运动，发现刚好能到绝缘杆的最高点D．已知CB间距为4R/3．（提示：根据电磁学有关知识，在某一空间放一电荷量为Q的点电荷，则距离点电荷为r的某点的电势为，其中k为静电力常量，设无穷远处电势为零．）
（1）求小环从C运动到B过程中，水平外力做的功；
（2）若水平外力为恒力，要使小环能运动到D点，求水平外力的最小值F；
（3）若水平外力为恒力，大小为F（F大于（2）问中的F），求小环运动到D点时，绝缘杆对环的弹力大小和方向．

Answer

（1）小环从C运动到B过程中，有电场力和外力做功，根据动能定理可以求得水平外力做的功；
（2）要是小环能够到达D点，则到达D点时的速度必须大于或等于零，在此过程中外力和电场力做功，根据动能定理可以求得最小的外力；
（3）到达D点时，做的是圆周运动，弹力、重力、电场力的合力做为圆周运动的向心力，由此可以求得绝缘杆对环的弹力大小和方向．
【解析】
（1）小球从C运动到B，带电小环要克服电场力做功，克服电场做的功W电等于电势能的增加，
则 W电=q-，
所以W电=，
小球从C运动到B，设到B得速度为VB，水平外力做的功为W，
则 W-W电=m
小球从B到D过程中，带电小环在等势面上运动电场力不做功，设到D点的速度为VD
则-2mgR=m-m
又刚好到D点，则D点速度为VD=0，
所以W=2mgR+，
（2）小球要能运动到D点，则VD≥0
由C运动到D点，F′•R-W电-2mgR=m
由此可以解得F′≥mg+
所以水平外力的最小值为F=mg+．
（3）由C运动到D点，设D点速度为VD，
F•R-2mgR-=m
小环运动到D点时，设绝缘杆对小环的弹力大小为FN，方向指向圆心，
=FN+mg-
由此可得FN=F+-5mg
讨论：
（a）若F+＞5mg，则弹力大小为F+-5mg，方向指向圆心．
（b）若F+=5mg，则弹力为零．
（c）若F+＜5mg，则弹力大小为5mg-（F+），方向背向圆心．