Question

如图甲所示，PQNM是表面粗糙的绝缘斜面，abcd是质量m=0.5kg、总电阻R=O．5Q、边长L=O．5m的正方形金属线框，线框的匝数N=10．将线框放在斜面上，使斜面的倾角θ由O°开始缓慢增大，当θ增大到37°时，线框即将沿斜面下滑．现保证斜面的倾角θ=37°，在00′NM的区域加上垂直斜面方向的匀强磁场，使线框的一半处于磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．
（1）试根据图乙求出B随时间t变化的函数关系式．
（2）在t=O时刻线框是否会沿斜面运动？若要运动，请说出理由；若不运动，请求出从t=O时刻开始经多长时间线框即将发生运动．（g取10m/s²，sin 37°=O．6）

Answer

（1）从乙图看出，磁感应强度B随时间t均匀增大，由数学知识求出斜率，即可得到B的表达式；
（2）不加磁场时，当θ=37°时，线框即将沿斜面下滑，此时斜面对线框的静摩擦力恰好到达最大值，由平衡条件可求得最大静摩擦力．加了磁场后，线框受到的安培力方向在斜面平面内，线框对斜面的压力不变，最大静摩擦力不变．当磁感应强度增大时，根据楞次定律得知线框受到的安培力沿斜面向上．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式求出t=0时刻线框所受的安培力大小，判断线框能否向上运动．随着安培力的增大，当线框所受的静摩擦力沿斜面向下时，当线框刚要上滑时，静摩擦力达到最大值，由平衡条件求出此时的安培力和磁感应强度B，即可由B的表达式求得时间．
【解析】
（1）由图乙所示图线可知：磁感应强度B随时间t均匀增大，所以B=B+kt，其中B=0.2T，
   k==0.4T/s
所以B=0.2+0.4t（T）
（2）不加磁场时，由题意知，当θ=37°时，线框既将沿斜面下滑，此时斜面对线框的静摩擦力恰好达到最大值fmax，由平衡条件有
   fmax=mgsinθ=0.6mg=3N．
加磁场后，由于压力不变，故fmax的大小不变．
无论磁场方向垂直斜面向上还是向下，由楞次定理可知，当穿过线框的磁通量增大时，线框受到的安培力沿斜面向上，因此线框若是运动，则应沿斜面向上．应满足F安≥mgsinθ+fmax=6N，
由法拉第电磁感应定律有
   E=N=N==0.5V
由闭合电路欧姆定律知，电流I==1A，
在t=0时刻cd边受到的安培力F=NILB=1N，
故F＜mgsinθ+fmax，
所以在t=0时刻，线框不会沿斜面下滑，也不会沿斜面上滑；
当摩擦力方向沿斜面向下达到最大值时，线框即将沿斜面向上运动，此时线框受力如图所示，由平衡条件有 
   F安=NBIL=mgsinθ+fmax=6N
得磁感应强度大小为B=1.2T，
由（1）知，B=0.2+0.4t，
则所经历时间为t=2.5s．
答：
（1）根据图乙得到B随时间t变化的函数关系式是B=0.2+0.4t（T）．
（2）从t=O时刻开始经2.5s时间线框即将发生运动．