Question

如图所示，一个水平放置的圆桶绕水平轴O₁O₂匀速转动，桶的半径R=2m，桶壁很薄，壁上有一小圆孔P，当圆孔运动到桶的正上方时，在孔的正上方h=3.2m处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径．试求：要使小球在整个下落过程中都不与桶壁碰撞，圆桶转动的角速度的所有可能值．

Answer

小球若能从圆孔中进去还正好从圆孔中出来，就不会跟圆筒相撞，否则就会相撞，设小球下落h所用时间t1，经过圆桶所用时间为t2，求出这两段时间，再求出圆筒的角速度的可能值．
【解析】
设小球下落h所用时间t1，经过圆桶所用时间为t2，则h=gt2
解得t1=0.8 s
h+2R=g（t1+t2）2
解得t2=0.4 s
设圆桶的运动周期为T，故有：
nT=t1（n=1，2，3，…）
（m-）T=t2    （m=1，2，3，…）
解得： （n=1，2，3，…）
且   （m=1，2，3，…）
故（m=1，2，3，…）
角速度为：ω==2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）
答：要使小球在整个下落过程中都不与桶壁碰撞，圆桶转动的角速度的可能值为：ω==2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）．