Question

为了迎接2008年北京奥运会的召开，我市某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字是用内壁光滑的薄壁细圆玻璃管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆形和直圆管组成，P点与M、N点等高，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切．右端的弹射装置将一个小球（小球的直径略小于玻璃管的内径，且可以视为质点），以v_a=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入玻璃轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．设小球与地面ab段间的动摩擦因数u=0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长x=1.5m，数字“0”的半径R=0.2m，小球的质量m=0.01kg，取g=10m/s²．试求：

（1）小球运动到数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处的角速度之比．
（2）小球到达数字“8”的最高点N时管道对小球作用力的大小和方向．
（3）小球从p点抛出后落到地面时的速度．

Answer

（1）根据机械能守恒定律知小球在数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处速度大小相等，根据v=rω得出角速度之比．
（2）对小球由位置a经b运动到N点的过程，应用动能定理求出N点的速度，根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力大小和方向．
（3）P点的速度与N点的速度相等，根据平抛运动的规律求出小球落地的速度大小和方向．
【解析】
（1）由机械能守恒定律知，小球在M和N两点的速度相同，由公式v=ωr得两点的角速度之比为
（2）小球由位置a经b运动到N点的过程，应用动能定理得：

设小球在N点轨道给它的压力为FN，由牛顿第二定律得

方向竖直向下                                                    
（3）由机械能守恒定律知，小球过P点以速度做平抛运动，则有    

小球的落地速度为
设落地速度与水平方向的夹角为θ，则有
θ=45°
答：（1）小球运动到数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处的角速度之比为．
（2）小球到达数字“8”的最高点N时管道对小球作用力的大小为0.7N，方向竖直向下．
（3）小球从p点抛出后落到地面时的速度为4m/s，与 水平方向的夹角为45°．