Question

某同学设想用带电粒子的运动轨迹做出“0”字样，首先，在真空空间的竖直平面内建立xoy坐标系，在x₁=-0.1m和x₂=0.1m处有两个与y轴平行的竖直界面PQ、MN把空间分成Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ三个区域，在这三个区域中分别存在匀强磁场B₃、B₂、B₁，其大小满足B₂=2B₃=2B₁=0.02T，方向如图所示．在Ⅱ区域中的x轴上、下两侧还分别存在匀强电场E₁、E₂（图中未画出），忽略所有电、磁场的边缘效应，ABCD是以坐标原点O为中心对称的正方形，其边长a=0.2m．现在界面MN上的A点沿x轴正方向发射一个比荷q/m=1.0×10⁸C/kg的带正电的粒子（其重力不计），粒子恰能沿图中实线运动，途经B、C、D三点后回到A点，做周期性运动，轨迹构成一个“0”字，已知粒子每次穿越Ⅱ区域时均作直线运动．试求：

（1）粒子自A点射出时的速度大小v；
（2）电场强度E₁、E₂的大小和方向；
（3）粒子作一次周期性运动所需的时间．

Answer

（1）带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，直径2R=a，粒子由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律可求出速度v；
（2）带电粒子在区域Ⅱ和Ⅲ中做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，由左手定则判断洛伦兹力的方向就能知道电场力的方向和电场强度方向．由二力平衡列式，求场强的大小．
（3）由运动学公式求出粒子在区域Ⅱ和Ⅲ中匀速直线运动的时间，粒子在区域Ⅰ和Ⅲ中做匀速圆周运动，刚好运动了一个周期，由周期公式求时间，即可求得总时间．
【解析】
（1）带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，直径2R=a，由
  qvB1=m
得=1×105m/s
（2）带电粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，由左手定则判断可知洛伦兹力的方向沿y轴正方向，则电场力沿y负方向，电场强度E1也沿y轴负方向．
  且有  qvB2=qE1，则得E1=vB2=2×103N/C．
同理，E2=vB2=2×103N/C，方向沿y轴正方向．
（3）粒子在区域Ⅱ运动的时间t1=2×
在区域Ⅰ和Ⅲ中运动的时间t2=T=
则得粒子作一次周期性运动所需的时间t=t1+t2=2×+
代入数据解得，t=（4+2π）×10-6s
答：
（1）粒子自A点射出时的速度大小v是1×105m/s．
（2）电场强度E1的大小为2×103N/C，方向沿y轴负方向；E2的大小为2×103N/C，方向沿y轴正方向．
（3）粒子作一次周期性运动所需的时间是（4+2π）×10-6s．