Question

如图所示，两个金属轮A₁、A₂，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O₁和O₂转动，O₁和O₂相互平行，水平放置．每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A₁轮的辐条长为a₁、电阻为R₁，A₂轮的辐条长也为a₁、电阻为R₂，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略．半径为a的绝缘圆盘D与A₁同轴且固连在一起，一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P．当P下落时，通过细绳带动D和A₁绕轴转动．转动过程中A₁、A₂保持接触，无相对滑动；两轮与各自轴之间保持良好接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连．除R和A₁、A₂两轮中辐条的电阻外，所有金属电阻都不计．整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行，现将P由静止起释放，
（1）在图中标明八根辐条中的电流方向并画出该装置的等效电路图
（2）在由静止开始下落过程中，整个系统的能量是如何转化的？
（3）定性画出物体由静止开始下落过程中的速度-时间图象
（4）求：P下落过程中的最大速度．

Answer

（1）根据右手定则可确定感应电流的方向，并作出等效电路图；
（2）根据能量守恒定律，可知，加速过程的能量：重力势能转化为动能与内能；匀速过程中：重力势能转化为内能．
（3）根据牛顿第二定律，结合受力分析，可知速度与时间的关系；
（4）根据角速度与半径关系，可确定感应电动势的大小关系，并由电源的并串联可知，根据闭合电路欧姆定律，与重力功率等于发热功率，即可求解．
【解析】
（1）P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速运动．由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路．A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力．不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓．A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，
电流方向：左边的四条电流方向均指向圆心，右边的四条电流方向均背向圆心．
等效电路如左图所示：
（2）加速过程的能量转化：重力势能转化为动能和内能；
匀速阶段：重力势能转化为内能．
（3）物体由静止开始下落过程中的速度-时间：先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动．图象如右图所示，
（4）设其速度为v，则A1的角速度 （1）
A1带动A2转动，A2的角速度ω2与A1的角速度ω1之间的关系为ω1a1=ω2a1（2）
A1中每根辐条产生的感应电动势均为 （3）
轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式．同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值（4）
A1中每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值为RA1=（5）
A2中每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为RA2=（6）
A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为I=（7）
以（1）至（6）式代入（7）式，得I=（8）
当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即 mgv=I2（R+） （9）
以（8）式代入（9）式得
答：（1）在图中标明八根辐条中的电流方向，并画出该装置的等效电路图如左上图．
（2）在由静止开始下落过程中，整个系统的能量是加速过程的能量转化：重力势能转化为动能和内能；
匀速阶段：重力势能转化为内能．
（3）定性画出物体由静止开始下落过程中的速度-时间图象：如右上图．
（4）求：P下落过程中的最大速度．