Question

在地面上方足够高的地方，存在一个高度d=0.5m的“相互作用区域”（下图中画有虚线的部分）．一个小圆环A套在一根均匀直杆B上，A和B的质量均为m，若它们之间发生相对滑动时，会产生f=0.5mg的摩擦力．开始时A处于B的最下端，B竖直放置，A距“相互作用区域”的高度h=0.8m．让A和B一起从静止开始下落，只要A处于“相互作用区域”就会受到竖直向上、大小F=3mg的恒力作用，而“相互作用区域”对处于其中的杆B不产生作用力．杆B在下落过程中始终保持竖直，且杆的长度能够保证圆环A与杆不会分离．不计空气阻力，取g=10m/s²．求：
（1）杆B的最下端刚进人“相互作用区域”时的速度；
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间；
（3）为保证圆环A在空中运动过程中始终与杆不会分离，杆的最小长度．

Answer

（1）A和B一体静止下落至“相互作用区域”的过程是自由落体运动，根据速度位移关系公式列式求解即可；
（2）根据牛顿第二定律求解出加速度，然后根据位移时间关系公式列式求解；
（3）在相互作用区域，根据牛顿第二定律求解出两个物体的加速度，根据位移时间关系公式和速度时间关系公式求解出离开相互作用区域的时间和速度，得到相对位移；此后再次根据牛顿第二定律求解出两个物体的加速度，根据位移时间关系公式和速度时间关系公式求解出最终同速时的相对位移；最后加上两个相对位移即可．
【解析】
（1）设A和B一体静止下落至“相互作用区域”的速度为v1，则
代入数据得  v1=4.0m/s        
（2）A在“相互作用区域”运动时，A受到重力mg、滑动摩擦力f和竖上向上的恒力F作用，设加速度aA、运动时间为t，根据牛顿第二定律有mg+f-F=maA
代入数据得  aA=-15m/s2
由位移公式有  
代入数据解得  t=0.2s   t′=0.33s（不符题意，舍去）  
（3）设B在“相互作用区域”运动的加速度为aB，A刚离开“相互作用区域”时，圆环A和直杆B的速度分别为vA和vB，则：mg-f=maB，vB=v+aBt，vA=v1+aAt  
代入数据解得 vA=1m/s，vB=5m/s
此过程二者相对滑动的距离 
代入数据解得  s1=0.4m
设A离开“相到作用区域”后二者相对滑动过程的时间为t′，A的加速度为a'A，则

vA+a'At′=vB+aBt′
二者相对滑动的距离 
代入数据解得  t′=0.4s，s2=0.8m
则杆的最小长度 s=s1+s2=1.2m
答：（1）杆B的最下端刚进人“相互作用区域”时的速度为4.0m/s；
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间为0.2s；
（3）为保证圆环A在空中运动过程中始终与杆不会分离，杆的最小长度为1.2m．