Question

如图所示，水平轨道AB与位于竖直面内半径为R的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的直径BD与AB垂直，水平轨道上有一质量m=1.0kg可看作质点的小滑块，滑块与水平 轨道间的动摩擦因数μ=0.5．现使滑块从水平轨道上某点静止起出发，在水平向右的恒力F作用下运动，到达水平轨道的末端B点时撤去外力F，小滑块继续沿半圆形轨道运动；恰好能通过轨道最高点D，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到其出发点，g取10m/s²．
（1）当R=0.90m时，求其出发点到B点之间的距离x及滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小；
（2）小明同学认为：若半圆形光滑轨道BCD的半径R取不同数值，仍要使物体恰好能通过D点飞离圆轨道并刚好落回其对应的出发点，恒定外力F的大小也应随之改变．你是否同意他的观点，若同意，求出F与R的关系式；若不同意，请通过计算说明．

Answer

（1）物体恰好通过最高点，意味着在最高点是轨道对滑块的压力为0，即由重力恰好提供向心力，这样可以求出滑块经过D点的速度vD．滑块从D点离开轨道后做平抛运动，由平抛运动的规律求x．在从B到D的过程中，质点仅受重力和轨道的支持力，而轨道的支持力不做功，共可以根据动能定理求出物体在B的速度，在B点根据支持力和重力的合力提供向心力得出物体在B点所受的支持力，即得到滑块对轨道的压力．
（2）滑块从出到D的整个过程中，运用动能定理和临界条件得到F的表达式，再进行说明．
【解析】
（1）小滑块恰好通过最高点，则有
   mg=m
解得，vD=
滑块从D点离开轨道后做平抛运动，则
  2R=
  x=vDt
求得x=2R=1.8m
在从B到D的过程中，由动能定理得：
-2mgR=
对B点：FN-mg=m
联立解得，FN=60N
由牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力为60N．
（2）不同意．
滑块由出发到D点的过程中，由动能定理得
   Fx-μmgx-2mgR=
又x=2R，vD=，
代入解得，F=1.75mg，为一与R无关的定值．
答：
（1）当R=0.90m时，滑块出发点到B点之间的距离x是1.8m．滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小为60N；
（2）不同意．F=1.75mg，为一与R无关的定值．