Question

如图所示，物体A的质量m=1kg，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为M=0.5kg、长L=1m．某时刻A以向右的初速度v滑上木板B的上表面，忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数µ=0.2，取重力加速度g=10m/s²．试求：

（1）现使B固定在地面上，令A在B上运动的末速度为v，试确定函数v（v）的解析式，并大致画出v-v图线．
（2）若v=4m/s，且B可在地面自由滑动，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的恒定拉力F．
①假设F=5N，求物体A从开始运动到距离小车左端最远处所需时间；
②若要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足什么条件？

Answer

首先分析物体A和车的运动情况：A相对于地做匀减速运动，车相对于地做匀加速运动．开始阶段，A的速度大于车的速度，则A相对于车向右滑行，当两者速度相等后，A相对于车静止，则当两者速度相等时，物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离．由牛顿第二定律和运动学公式结合，以及速度相等的条件，分别求出A与车相对于地的位移，两者之差等于A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离．
    要使A不从B上滑落，是指既不能从B的右端滑落，也不能左端滑落．物体A不从右端滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度，根据牛顿第二定律和运动学公式结合，以及速度相等的条件，可求出此时F，为F的最小值．物体A不从左端滑落的临界条件是A到达B的左端时，A、B具有共同的速度，可求出此时F的最大值，综合得到F的范围．
【解析】
（1）由运动学公式，
得
因此有
大致如图（2m/s以外部分为双曲线的一部分）．
（2）①对A有μmg=maA…①得aA=µg=2 m/s2              
木板B作加速运动，有F+µmg=MaB，…②得：aB=14 m/s2     
两者速度相同时，有v-aAt=aBt，得：t=0.25s                        
②物体A不从B 右端滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v1，
则：
又：
联立以上两式，可得：aB=6m/s2              
再代入②式得：F=MaB-μmg=1N
当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落．即有：F=（M+m）a，μmg=ma所以F=3N
综上：力F应满足的条件是：1N≤F≤3N．
答：（1）如图所示；
（2）①物体A从开始运动到距离小车左端最远处所需时间为0.25s；
②若要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足什么条件为1N≤F≤3N．