Question

质量为m的小球B与质量为2m的小球C之间用一根轻质弹簧连接，现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x，如图所示，设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量（即伸长量或缩短量）的平方成正比．小球A从小球B的正上方距离为3x的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动．已知小球A的质量也为m时，它们恰能回到O点（设3个小球直径相等，且远小于x，略小于直圆筒内径），问小球A至少在B球正上方多少距离处自由落下，与B球粘连后一起运动，可带动小球C离开筒底．

Answer

小球A下落过程只受重力，机械能守恒；由机械能守恒定律可求得小球A的末速度；再由动量守恒可求得碰后的共同速度；如果让B带动C向上运动，应使弹簧伸长到使弹力大于等于C的重力；由机械能守恒定律可列出表达式，联立以上关系可求得小球至少在B球上方的距离．
【解析】
设小球A由初始位置下落至小球B碰撞前的速度为v，由机械能守恒得：
mg3x=mv2  （1）
所以：v=  （2）
设小球A与小球B碰撞后共同速度为v1，由动量守恒得：mv=2mv1  （3）
所以：v1=   （4）
设弹簧初始的弹性势能为EP，则碰撞后回到O点时机械能守恒得：
2mgx=×2mv12+EP   （5）
由（1）（3）（5）式可得：EP=mgx   （6）
小球B处于平衡时，有（设k为弹簧的劲度系数）
kx=mg    （7）
当小球C刚好被拉离筒底时，有：
kx=2mg   （8）
由（7）（8）可知：x=2x    （9）
根据题中条件可知，小球C刚好被拉离筒底时，弹簧弹性势能为：E'P=4EP   （10）
设小球A至少在B球正上方h处高处下落，且与小球B碰撞前速度为v3，由机械能守恒，得：
mgh=mv32   （11）
设小球A与小球B碰撞后共同速度为v4
由动量守恒可得：mv3=2mv4   （12）
由机械能守恒得：×2mv42+EP=E'p+2mg×3x   （13）
由（6）（10）（11）（12）（13）可得：h=15x    （14）
答：小球至少距B球15x才能带动C离开筒底．