Question

荷兰科学家惠更斯在研究物体碰撞问题时做出了突出的贡献．惠更斯所做的碰撞实验可简化为：三个质量分别为m₁、m₂、m₃的小球，半径相同，并排悬挂在长度均为L的三根平行绳子上，彼此相互接触．现把质量为m₁的小球拉开，上升到H高处释放，如图所示，已知各球间碰撞时同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，且碰撞时间极短，H远小于L，不计空气阻力．
（1）若三个球的质量相同，则发生碰撞的两球速度交换，试求此时系统的运动周期．
（2）若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有同样的动量，则m₁：m₂：m₃应为多少？它们上升的高度分别为多少？

Answer

（1）球1与球2、球2与球3碰撞后速度互换，各球间碰撞时同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，根据单摆周期公式求解
（2）对于球1与球2碰撞，对于球2与球3碰撞，根据机械能守恒定律列出等式求解．
【解析】
（1）球1与球2、球2与球3碰撞后速度互换，球3以球1碰球2前瞬间的速度开始上升到H高处，然后再摆回来与球2、球2与球1碰撞，使球1上升到H高处，此后，系统做到周期性运动，则
由此可知系统的运动周期为：
（2）由题意知三球碰后的动量均相同，设为p，
则，球2在与球3碰前具有动量2p，
根据机械能守恒定律，对于球2与球3碰撞的情况应有：
由此得：m2：m3=3：1
球1与球2碰前的动量为3p，根据机械能守恒定律有：
由此得：m1：m2=2：1
从而可得：m1：m2：m3=6：3：1
设三球碰后上升的高度分别为H1、H2、H3
球1碰前动能EK1=m1gH，又EK1=，∴H2=
球1碰后动能EK1=m1gH1，又EK1=，∴
从而可得：
同理可得：
H3=4H
答：（1）若三个球的质量相同，则发生碰撞的两球速度交换，．
（2）若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有同样的动量，则m1：m2：m3=6：3：1．
它们上升的高度分别为，，4H．