Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角的135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料､质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道，不计空气阻力，g=10m/s²，求：

（1）物块运动到P点速度的大小和方向．
（2）判断m₂能否沿圆轨道到达M点．
（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer

（1）根据物体做平抛运动，根据运动的分解，由运动学公式，即可求解；
（2）根据动能定理与牛顿第二定律，即可求解；
（3）根据能量守恒定律，结合摩擦力做功，即可求解．
【解析】
（1）设物块由D点以初速度vD做平抛运动，落到P点时其竖直速度为vy2=2gR
得vD=vy=4 m/s
所以到P的速度为m/s，方向与水平方向夹角为45°
（2）若物块能沿轨道到达M点，其速度为vM，
根据动能定理，则有m2v2M=m2v2D-m2gR
轨道对物块的压力为FN，则FN+m2g=m2
解得FN=（1-）m2g＜0
即物块不能到达M点．
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为Ep，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，释放m1时，Ep=μm1gsCB
释放m2时，Ep=μm2gsCB+m2v2
且m1=2m2，得Ep=m2v2=7.2 J
m2在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf，
则Ep-Wf=m2v2D  可得Wf=5.6 J．
答：（1）物块运动到P点速度的大小和方向与水平方向夹角为45°．
（2）判断m2不能沿圆轨道到达M点．
（3）释放后m2运动过程中克服摩擦力做的功5.6 J．