Question

如图所示，在倾角θ=30°、足够长的斜面上分别固定着两个物体A．B，相距L=0.2m，它们的质量m_A=m_B=2kg，与斜面间的动摩擦因数分别为和．在t=0时刻同时撤去固定两物体的外力后，在然后的运动中，A与B物体发生连续碰撞（碰撞时间极短，忽略不计），每次碰后两物体都相互交换速度．g取10m/s²．问：
（1）A与B第一次碰前的瞬时A、B的速率分别是多大
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历多长时间？
（3）从开始撤去固定两物体的外力至第n次碰撞时A、B两物体各自克服摩擦阻力做的功分别是多少？

Answer

（1）根据牛顿第二定律结合运动学公式求出A、B碰前瞬间的速率．
（2）两物体碰后，交换速度，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动，结合运动学公式求出追及的时间，再求出开始A与B碰前所需的时间，从而得出从A开始运动到两物体第二次相碰经历的时间．
（3）结合运动学公式得出A、B物体速度的变化规律，分别求出A、B的位移，从而求出从开始撤去固定两物体的外力至第n次碰撞时A、B两物体各自克服摩擦阻力做的功．
【解析】
（1）A物体沿斜面下滑时有mAgsinθ-μAmAgcosθ=mAaA
∴aA=gsinθ-μAmAgcosθm/s2                 
B物体沿斜面下滑时有mBgsinθ-μBmBgcosθ=mBaB
∴aB=gsinθ-μBmBgcosθ

分析可知，撤去固定A、B的外力后，物体B恰好静止于斜面上，物体A将沿斜面向下做匀加速直线运动．                                    
A与B第一次碰撞前的速度，B的速率为零                  
（2）从AB开始运动到第一次碰撞用时
两物体相碰后，A物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而B物体将以vB2=v'B1=1m/s的速度沿斜面向下做匀速直线运动．                
设再经t2时间相碰，则有
解之可得t2=0.8s                                 
故从A开始运动到两物体第二次相碰，共经历时间
t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s                                             
（3）从第2次碰撞开始，每次A物体运动到与B物体碰撞时，速度增加量均为△v=at2=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交换，因而碰后B物体的速度为：
第一次碰后：vB1=1m/s
第二次碰后：vB2=2m/s
第三次碰后：vB3=3m/s…
第n次碰后：vBn=nm/s
每段时间内，B物体都做匀速直线运动，则第n次碰前所运动的距离为
sB=[1+2+3+…+（n-1）]×t2=m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物体比B物体多运动L长度，则
sA=L+sB=[0.2+]m                              
则wA=μAmAgcosθsA=1+2n（n-1）J                         
wB=μBmBgcosθsB=4n（n-1）J      
答：（1）A与B第一次碰前的瞬时A、B的速率分别是1m/s，0m/s．
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历1.2s．
（3）从开始撤去固定两物体的外力至第n次碰撞时A、B两物体各自克服摩擦阻力做的功分别是1+2n（n-1）J、4n（n-1）J．