Question

如图1所示，水平放置的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图2所示的方波电压，电压的正向值为U，反向电压值为，且每隔T/2换向一次，现有质量为m、带正电且电量为q的粒子束从A、B的中点O沿平行于金属板方向OO′射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响，试问：
（1）在靶MN上距其中心O′点多远的范围内有粒子击中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U的数值应满足什么条件？（写出U、m、d、q、T的关系式即可）

Answer

（1）带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，粒子在竖直方向先向下做匀加速运动，后做匀减速运动．根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式分别求出前 时间内和后 时间内，粒子在竖直方向的位移，再粒子打在距O′点正下方的最大位移．当粒子在， T，…（2n+1） 时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．粒子在竖直方向先向上做匀加速运动，后做匀减速运动．同理求出粒子打在距O′点正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在竖直方向距O′点的最大位移小于．代入（1）问的结论，求解电压U的数值应满足的条件．
【解析】
带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．粒子打在靶MN上的范围，就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
（1）当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，
在前 时间内，粒子在竖直向下的位移为：s1=a1（ ）2=
在后时间内，粒子在竖直向下的位移为：s2=v -a2（）2
将v=a1=，代入上式得：s2=
故粒子打在距O′点正下方的最大位移为：s=s1+s2=
当粒子在，T，…（2n+1） 时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．
在前 时间内，粒子在竖直向上的位移为：   
其中，v′==，，代入上式得：s2′=0，
故粒子打在距O′点正上方的最大位移为：s′==．
（2）要使粒子能全部打在靶上，须有：，即U＜
答：（1）在靶MN上距其中心O′点的范围内有粒子击中；
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U的数值应满足条件．