Question

一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1，2，3，…n的物块，所有物块的质量均为m，与木板间的摩擦因素都相同，开始时，木板静止不动，第1，2，3，…n号物块的初速度分别是v，2v，3v，…，nv，方向都向右，木板的质量与木块的总质量相等，最终所有的物块与木板以共同速度匀速运动，设物块之间均无相互碰撞，木板足够长．试求：
（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度v_n
（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度v₁
（3）通过分析和计算说明第k号（k＜n）物块的最小速度v_k．

Answer

（1）A、B、C三个物体组成的系统，所受合外力为零，系统的动量守恒，根据动量守恒定律求出最终A、B、C的共同速度．
（2）根据动量守恒定律和动量定理研究，求出A与C刚相对静止时B的速度．
（3））第1号物块到达速度之后，又会随木板做加速运动．所以就是第1号物块的最小速度．同理可得，第k号（k＜n）物块的最小速度就是它与木板相对静止的瞬间的速度．
【解析】
（1）根据动量守恒定律得：mv+2mv+3mv+…+nmv=2nmvn
解得：  
（2）设经过t时间，第1号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v1，根据动量定理得
   对第一个木块：-μmgt=m（v1-v）
   对木板：n•μmgt=nmv1
联立以上二式，解得：；
  （3）第1号物块到达速度之后，又会随木板做加速运动．所以就是第1号物块的最小速度．同理可得，第k号（k＜n）物块的最小速度就是它与木板相对静止的瞬间的速度．
设经过t2时间，第2号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v2，根据动量定理得
   对第2个木块：-μmgt2=mv2-（2mv-μmgt）
   对木板和第1个木块：（n-1）μmgt2=（n+1）m（v2-v1）
联立以上二式 ；

设经过t3时间，第3号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v3，根据动量定理得
   对第3个木块：-μmgt3=mv3-（3mv-μmgt-μmgt2）
   对木板和2个木块：（n-2）μmgt3=（n+2）m（v3-v2）
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设经过tk时间，第k号物块与木板刚好相对静止，共同速度为vk，根据动量定理得
   对第k个木块：-μmgtk=mvk-（kmv-μmgt-μmgt2…μmgtk）
   对木板和（k-1）个木块：[n-（k-1）]μmgtk=[n+（k-1）]m（vk-vk-1）
联立以上各式，解得：
答：（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度；
（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度；
（3）通过分析和计算说明第k号（k＜n）物块的最小速度．