Question

如图1所示，长为l、相距为d的两块正对的平行金属板AB和CD与一电源相连（图中未画出电源），B、D为两板的右端点．两板间电压的变化如图2所示．在金属板B、D端的右侧有一与金属板垂直的荧光屏MN，荧光屏距B、D端的距离为l．质量为m、电荷量为 e的电子以相同的初速度v从极板左边中央沿平行极板的直线OO′连续不断地射入．已知所有的电子均能够从金属板间射出，且每个电子在电场中运动的时间与电压变化的周期相等．忽略极板边缘处电场的影响，不计电子的重力以及电子之间的相互作用．求：

（1）t=0和t=T/2时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离之比．
（2）两板间电压U的最大值．
（3）电子在荧光屏上分布的最大范围．

Answer

（1）从t=0时刻进入电子先做匀速直线运动，然后做类平抛运动，从t=时刻进入做类平抛运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出偏转位移，从而求出偏离OO′的距离之比．
（2）在t=（2n+1）（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离OO′的距离最大，抓住偏转位移小于，结合牛顿第二定律和运动学公式求出两板间电压U的最大值．
（3）分别求出t=（2n+1）（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离OO′的距离和t=（2n+1）（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离，从而确定电子在荧光屏上分布的最大范围．
【解析】
（1）t=0时刻进入两板间的电子先沿OO′方向做匀速运动，即有，
而后在电场力作用下做类平抛运动，在垂直于OO′方向做匀加速运动，设到达B、D
端界面时偏离OO′的距离为y1，则．
t=时刻进入两板间的电子先在时间内做抛物线运动到达金属板的中央，而后做匀速直线运动到达金属板B、D端界面．设电子到达金属板的中央时偏离OO′的距离为y2，将此时电子的速度分解为沿OO′方向的分量v与沿电场方向的分量vE，并设此时刻电子的速度方向与OO′的夹角为θ，电子沿直线到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离为y2′，则有，；
解得
因此，y1：y2′=1：3．
（2）在t=（2n+1）（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离OO′的距离最大，因此为使所有进入金属板间的电子都能够飞出金属板，应满足的条件为，解得板间电太的最大值．
（3）设t=nT（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离为Y1；
t=（2n+1）（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离为Y2′，电子到达荧光屏上分布在△Y=Y2-Y1范围内．当满足的条件时，△Y为最大．根据题中金属板和荧光屏之间的几何关系，得到
．
因此电子在荧光屏上分布的最大范围为．
答：（1）t=0和t=时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离之比为1：3．
（2）两板间电压U的最大值．
（3）电子在荧光屏上分布的最大范围为．