Question

如图，水平地面和半圆轨道面均光滑，质量为 m 的小车静止在地面上，小车上表面与半径为 R 的半圆轨道最低点 P 切线相平，质量为 mB 的物体 B 静止在 P 点．现有一质量为 mA 的物体 A 以初速度 v0 滑上小车左端，当 A 与小车共速时，小车还未与墙 壁碰撞，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数为 μ，mA=mB=m，物体 A、B 可视为质点，重力加速度为 g．试求：
（1）物体 A 与小车共速时的速度大小；
（2）小车的最小长度 L；
（3）当物体 A 与 B 发生弹性碰撞后，欲使 B 碰后在圆轨道运动时不脱离圆轨道，小车的长度 L应在什么范围内．

Answer

物体A在小车上面运动，把小车与物体A看做一系统，合外力为零，满足动量守恒列出等式求解
若滑块恰能滑过圆的最高点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出滑块经过最高点时的速度，根据动能定理求出轨道半径；若滑块恰好滑至圆弧到达T点时就停止，滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．根据动能定理求解小车的长度，即能得到小车的长度的范围．
【解析】
（1）物体A在小车上面运动，把小车与物体A看做一系统，合外力为零，满足动量守恒，
有：mAV=（mA+mB）V共且mA=mB=m
解得V共=v
（2）若问题A与小车达到共同速度时，恰好运动到小车的右端，此情况下小车的长度是最小长度，
由系统动能定理得
-μmAgL=（mA+m）-mA
解得L=
（3）假设问题A与小车达到共同速度时，距离小车的右端为S，小车粘到墙壁上之后，
物体A开始匀减速直线运动，直到P点是速度为vt，
由动能定理得：
-μmAgS=mA-mA
得出：mA=mA-μmAgS
①欲保证A能滑到P点，vt≥0
mA-μmAgS≥0
S≤，此情况下小车的长度L总=L+S=
②A能滑到P点与B发生弹性碰撞，满足动量和动能守恒，
mAvt=mAvA+mBvB
解得：vA=0，vB=vt
以后B做圆周运动，恰能运动到最高点，
在最高点速度vB0=
根据机械能守恒有
mBg•2R+mB=mB
解得：S=-
此情况下小车的长度L总=L+S=-
③如果滑块滑到圆滑就停止，滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道根据机械能守恒有
mBgR=mB
S═-
此情况下小车的长度L总=L+S=-
综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径必须满足：
＜L≤-
或=-≤L≤
答：（1）物体 A 与小车共速时的速度大小是v；
（2）小车的最小长度是；
（3）当物体 A 与 B 发生弹性碰撞后，欲使 B 碰后在圆轨道运动时不脱离圆轨道，
小车的长度 L范围是
＜L≤-
或-≤L≤．