Question

水平放置的木柱，横截面为边长等于a的正四边形ABCD；摆长4a的摆，悬挂在A点，如图所示，开始时质量为m的摆球处在与A等高的P点，这时摆线沿水平方向伸直；已知摆线能承受的最大拉力为7mg；若以初速度v竖直向下将摆球从P点抛出，为使摆球能始终沿圆弧运动，并最后击中A点．求v的许可值范围（不计空气阻力）．

Answer

摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为R1=4a，R2=3a，R3=2a，R4=a为半径各作四分之一圆周的圆运动．根据动能定理求出摆球沿半径4a运动到最低点时的速度、沿半径3a运动到水平位置时的速度，根据牛顿第二定律求出摆球经过这两个位置时摆线的拉力，当摆球绕C点以半径2a运动到最高点时，要能沿圆弧运动，摆球经过最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得临界速度，根据动能定理求出摆球经过最高点时v的最小值．当摆球开始绕D点以半径R4=a作圆周运动时，当摆线拉力达到最大，求出初速度的最大值，即可v的范围．
【解析】
摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为R1=4a，R2=3a，R3=2a，R4=a为半径各作四分之一圆周的圆运动．

①当摆球从P点开始，沿半径4a运动到最低点时的速度v1，
根据动能定理：
当摆球开始以v1绕B点以半径3a作圆周运动时，摆线拉力为T1：
这时摆球的运动方程为：
摆线的最大拉力为：Tmax=7mg；
由此求得：v01＜．
②当摆球从B点开始，沿半径3a运动到水平位置时的速度v2，
根据动能定理：
当摆球开始以v2绕C点以半径2a作圆周运动时，摆线拉力为T2：
这时摆球的运动方程为：
摆线的最大拉力为：Tmax=7mg；
由此求得：v02＜．
③当摆球绕C点以半径2a运动到最高点时，为确保沿圆周运动，
到达最高点有：．
由动能定理：
由此求得：v03＞
④当摆球运动到水平位置时，击中A点时的速度v04，
根据动能定理：
当摆球开始以v4绕D点以半径R3=a作圆周运动时，摆线拉力为T3：
这时摆球的运动方程为：
摆线的最大拉力为：Tmax=7mg；
由此求得：v04＜．
综上所述：．
答：v的许可值范围为：．