Question

如图所示，将质量为m的小滑块与质量为M=3m的光滑凹槽用轻质弹簧相连．现使凹槽和小滑块以共同的速度v沿光滑水平面向左匀速滑动，设凹槽长度足够长，且凹槽与墙壁碰撞时间极短．
（1）若凹槽与墙壁发生碰撞后速度立即变为零，但与墙壁不粘连，求凹槽脱离墙壁后的运动过程中弹簧的最大弹性势能△E_P；
（2）若凹槽与墙壁发生碰撞后立即反弹，且再次达到共同速度时弹簧的弹性势能为，求这次碰撞过程中损失的机械能△E₁；
（3）试判断在第（2）问中凹槽与墙壁能否发生第二次碰撞？若不能，说明理由．若能，求第二次碰撞过程中损失的机械能△E₂．（设凹槽与墙壁每次碰撞前后速度大小之比不变）

Answer

（1）框架与墙壁碰撞后，物块以v压缩弹簧，后又返回，由机械能守恒可知，碰后速度仍为v方向向右．
设弹簧有最大势能时共同速度为v，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；
（2）设框架反弹速度为v1、最大势能时共同速度为v，则由动量、能量守恒定律即可求解v1、和v，从而求解损失量；
（3）由（2）知第一次碰后反弹后，二者总动量为零，故当弹簧再次伸展后仍可继续与墙壁相撞，并以v1的速度与墙壁相撞，根据速度的比值关系求得碰后速度即可求解机械能损失量．
【解析】
（1）凹槽与墙壁碰撞后，滑块压缩弹簧，后又返回，当弹簧恢复原长时，凹槽将离开墙壁，此时，小滑块的速度大小为v，方向水平向右．设弹簧具有最大弹性势能时共同速度为v，对凹槽、小滑块、弹簧组成的系统，选取水平向右为正方向，
根据动量守恒定律，有 mv=4mv，
根据机械能守恒定律，有mv2=×4mv2+EPx，
解得：EPX=mv2；       
（2）设凹槽反弹速度为v1，根据动量守恒定律和能量守恒定律，有
3mv1-mv=4mv′，
×3mv12+mv2=×4mv′2+mv2，
解得：v1=，v1′=-v（舍去），
代入解得：v′=0，
△E1=×3mv2-×3mv12=mv2，
（3）由第（2）问可知，第一次碰撞后系统的总动量为零，系统达到共同速度v′=0时，
弹簧压缩量最大，以后，弹簧释放弹性势能，根据对称性可知，凹槽将以v1=，的速度再次与墙壁碰撞．
根据题意，有=，
解得v2=，
故△E2=×3m-×3m=mv2，
答：（1）弹簧弹性势能的最大值为mv2； 
（2）框架与墙壁碰撞时损失的机械能为mv2；
（3）能，第二次碰撞时损失的机械能为mv2．