Question

如图所示，水平地面和半圆轨道面均光滑，质量M=1kg的小车静止在地面上，小车上表面与R=0.24m的半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（可视为质点）以v=6m/s的初速度滑上小车左端，二者共速时小车还未与墙壁碰撞，当小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²，求：
（1）滑块与小车共速时的速度及小车的最小长度；
（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时小车的长度；
（3）讨论小车的长度L在什么范围，滑块能滑上P点且在圆轨道运动时不脱离圆轨道？

Answer

（1）滑块在小车滑行过程，系统所受的合外力为零，动量守恒，可求出共同速度．小车的长度与系统产生的内能有关．当两者速度相同滑块刚好滑到小车的右端时，小车的长度最短，根据能量守恒求解最小长度；
（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得经过Q点时的速度．小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，对滑块从车上开始滑动到运动到Q点的过程，运用动能定理即可求得滑块滑过的距离，由几何关系求出小车的长度；
（3）滑块不脱离圆轨道可能从Q点离开轨道，也可能滑到T点，根据动能定理结合上题的结果可求出L的范围．
【解析】
（1）由动量守恒知，mv=（m+M）v1，得v1=4m/s
  设小车的最小长度为L1
由能量守恒知，
得  L1=3m
（2）m恰能滑过圆弧的最高点，
小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，运动到最高点Q，在这个过程对滑块由动能定理：

解得：L2=1m
所以小车长度L=L1+L2=4m
（3）由（2）可知，滑块要想运动到Q点，小车的长度L必须满足：3m≤L≤4m
若滑块恰好滑至圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．
小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，运动到T点，在这个过程对滑块由动能定理：

解得
此时小车的长度为L′=L1+L2′=5.8m，小车的长度满足：3m≤L≤5.8m．
答：（1）滑块与小车共速时的速度为4m/s，小车的最小长度为3m；
（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时小车的长度为4m；
（3）小车的长度L在3m≤L≤4m或3m≤L≤5.8m范围，滑块能滑上P点且在圆轨道运动时不脱离圆轨道．