Question

如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×10³V/m．一不带电的绝缘小球甲，以速度υ沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞．已知乙球的质量为m=1.0×10^-2kg，乙所带电荷量q=2.0×10^-5C，甲球质量为乙球质量的k倍，g取10m/s²．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）
（1）若k=1，且甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求甲的速度υ；
（2）若k＞1，且甲仍以（1）中的速度υ向右运动，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围．

Answer

（1）由于两个球发生的是弹性碰撞，所以动量守恒，机械能也守恒，列出方程可以求出甲的速度v；
（2）对乙受力分析，乙离开最高点之后，做类平抛运动，竖直方向上匀加速运动，水平方向上匀速运动；乙求经过D点后的最小的速度应该是vD，再由动量守恒分析可得最大的速度，根据平抛运动水平方向的运动规律，可以求得范围的大小．
【解析】
（1）在乙恰能通过轨道的最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为vD，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，则
               ①
设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，
根据动量守恒有：
  kmv=kmv甲+mv乙             ②
       ③
联立②③得：        ④
由k=1，则v乙=v
由动能定理得：    ⑤
 联立①④⑤得：m/s    ⑥
（2）甲、乙完全弹性碰撞，碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，由②③得
解得   ⑦
又k＞1，则v＜v乙＜2v       ⑧
设乙球过D点的速度为vD′，由动能定理得
        ⑨
解得：2m/s＜vD′＜8m/s  ⑩
设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为x′，则有：
x′=vD′t       

联立解得：0.4m≤x'＜1.6m
答：（1）甲的速度是m/s；
（2）乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围是0.4m≤x′＜1.6m．