Question

用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb´a´．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa´边和bb´边都处在磁极间，极间磁感应强度大小为B．方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力设磁场区域在竖直方向足够长）．
（1）当方框下落的加速度为时，求方框的瞬时速度v₁
（2）方框下落的最大电功率多大？
（3）已知方框下落的时间为t时，下落的高度为h，其速度为v_t（v_t＜v_m）．若在同一时间t内，方框内产生的热与一恒定电流I在该框内产生的热相同，求恒定电流I的表达式．

Answer

（1）方框下落加速度为 时，根据牛顿第二定律与运动学公式，即可求解．
（2）分析方框运动的过程，知道当方框匀速运动时速度最大时感应电流大小，再根据焦耳定律求解．
（3）根据能量守恒定律表示出时间t内方框内产生的热量表达式，再求出恒定电流I的表达式．
【解析】
（1）方框质量    m=4LAd
方框电阻            R=ρ
方框下落速度为v时，产生的感应电动势  E=B•2Lv
感应电流              I==
方框下落过程，受到重力G及安培力F，
G=mg=4LAdg，方向竖直向下
安培力F=BI•2L= v，方向竖直向上
当方框下落加速度为 时，根据牛顿第二定律，方框达到速度则为v，
则mg-F=ma
因此    
（2）当方框匀速下落时，则有G=F，
即
方框下落的最大速度    vm=，
则方框的发热功率   P=I2R=Gvm=
（3）根据能量守恒定律，方框重力势能转化动能和电流产生的热量，所以有
 mgh=m+Rt
I=
解得：恒定电流I的表达式     I=A
答：（1）当方框下落的加速度为时，则方框的瞬时速度；
 （2）方框下落的最大电功率；
（3）恒定电流I的表达式．