Question

（１４分）如左图所示，x≥0的区域内有如右图所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向。现有一质量为m、带电量为q的正电粒子，在t=0时刻从坐标原点O以速度v沿着与x轴正方向成75°角射入。粒子运动一段时间到达P点，P点坐标为(a,a),此时粒子的速度方向与延长线的夹角为30°.粒子在这过程中只受磁场力的作用。

(1)若B为已知量,试求粒子在磁场中运动时的轨道半径R及周期T的表达式。

(2)说明在OP间运动的时间跟所加磁场的变化周期T之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动。

(3)若B为未知量,那么所加磁场的变化周期T、磁感强度B₀的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动？(写出T及B₀各应满足条件的表达式)

Answer

(1) 2 m/qB    (2) 由O至P运动过程,也可能在磁场变化半周期奇数倍时完成  (3) B=(2k-1) mv/2aq

【解析】

试题分析：(1)Bqv=mv2/R

R=mv/qB

T运=2R /v=2 m/qB

(2)由粒子经过O点与P点的速度方向以及B方向可判断.

由O至P运动的过程可能在磁场变化的半个周期内完成.

当磁场方向改变时,粒子绕行方向也变化,由于磁场方向变化的周期性,因此粒子绕行方向也具有周期性.由此可知,由O至P运动过程,也可能在磁场变化半周期奇数倍时完成.

(3)如答图所示:O→P运动过程,可能恰转过一个1/6圆周完成,若磁场变化半周期.

T/2≥T运/6   T≥T运/3

即T≥2m/3qB可能仅运动一个1/6圆周就达P点，此时OP=R=a=mv/qB

B=mv/qa

∴T≥2m/3q=2 a/3v

若粒子运动在磁场变化的半周期的奇数倍时间内完成，则(2k-1)T/2=(2k-1)T运 /6(k=1,2,3……)

T=T运/3=2m/3q

由答图一,此时OP=(2k-1)R

∴ a=(2k-1) mv/qB

B=(2k-1) mv/2aq  (k=1,2,3,……) 

④代入③得T=  a/3(2k-1)v  (k=1,2,3,……)

①④结合得B=(2k-1) mv/2aq  

考点：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，