Question

(12分)如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的轨道MNP，其形状为半径R＝1.0m圆环剪去了左上角120°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的数值距离是h＝2.4m。用质量m₁＝0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，用同种材料、质量为m₂＝0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块通过B点后做匀变速运动，其位移与时间的关系为x＝6t－2t²，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道(不计空气阻力，g取10m/s²)。求：

⑴物块m₂过B点时的瞬时速度v_B及与桌面间的滑动摩擦因数μ；

⑵若轨道MNP光滑，物块m₂经过轨道最低点N时对轨道的压力F_N；＝×－·

⑶若物块m₂刚好能到达轨道最高点M，则释放m₂后整个运动过程中其克服摩擦力做的功W。

Answer

 ⑴vB＝6m/s，μ＝0.4；⑵FN＝16.8N；⑶W＝8.0J

【解析】

试题分析：⑴由题意质量为m2的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块通过B点后做匀变速运动，其位移与时间的关系为x＝6t－2t2可知，物块m2过B点时的瞬时速度为：vB＝6m/s，加速度为：a＝－4m/s2①

物块离开B点后在桌面上受重力m2g、桌面的支持力N和滑动摩擦力f作用，根据牛顿第二定律可知，在水平方向上有：－f＝m2a                ②

在竖直方向上有：N－m2g＝0               ③

根据滑动摩擦定律有：f＝μN                ④

由①②③④式联立解得：μ＝＝0.4

⑵物块从D点离开桌面后做平抛运动，设至P点时速度在竖直方向上的分量为vy，则在竖直方向上，根据自由落体运动规律有：h＝            ⑤

因物块由P点沿切线落入圆轨道，由几何关系和物块水平方向做匀速运动的规律可知：vy＝vDtan60° ⑥

物块由D运动至N的过程中，只有重力做功，根据动能定理有：m2g(h＋R－Rcos60°)＝－⑦

在N点处，物块受重力m2g和圆轨道的支持力FN′作用，根据牛顿第二定律有：FN′－m2g＝   ⑧

根据牛顿第三定律可知，物块m2经过轨道最低点N时对轨道的压力FN＝FN′              ⑨

由⑤⑥⑦⑧⑨式联立解得：FN＝＋m2g(3－2cos60°)＝16.8N

⑶设CB距离为x1，BD距离为x2，在物块m1由C运动至B的过程中，根据功能关系有：Ep＝μm1gx1   ⑩

在物块m2由C运动至B的过程中，根据功能关系有：Ep＝μm2gx1＋             ⑪

在物块m2由B运动至D的过程中，根据动能定理有：－μm2gx2＝－           ⑫

由于物块m2恰好通过圆轨道的最高点M，设通过速度为vM，根据牛顿第二定律有：m2g＝   ⑬

设物块m2运动至P点时的速度为vP，在m2由P运动至M的过程中，克服摩擦力做功为W3，根据动能定理有：－m2g(R＋Rcos60°)－W3＝－           ⑭

根据几何关系可知：vP＝           ⑮

释放m2后整个运动过程中其克服摩擦力做的功为：W＝μm2gx1＋μm2gx2＋W3              ⑯

由①⑤⑥⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯式联立解得：W＝＋m2gh(－)－m2gR(＋cos60°)

代入数据解得：W＝7.2J＋4.8J－4.0J＝8.0J

考点：本题综合考查了匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、平抛运动规律、运动的合成与分解、动能定理、功能关系的应用问题，属于较难题。