Question

(15分)某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s，比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点，整个过程中球一直保持在球拍中心不动，比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ₀，如图所示，设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g。求：

⑴空气阻力大小与球速大小的比例系数k；

⑵加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；

⑶整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v₀，而球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件。

Answer

 ⑴k＝；⑵tanθ＝＋；⑶sinβ≤

【解析】

试题分析：⑴在匀速运动阶段，球受重力mg、球拍的支持力N0，和空气阻力f0作用，根据共点力平衡条件有：f0＝mgtanθ0                ①

根据题意有：f0＝kv0             ②

由①②两式联立解得：k＝               ③

⑵在加速阶段，球受重力mg、球拍的支持力N，和空气阻力f作用，在竖直方向上有：Ncosθ＝mg ④

在水平方向上，根据牛顿第二定律有：Nsinθ－f＝ma               ⑤

根据题意有：f＝kv              ⑥

由③④⑤⑥式联立解得：tanθ＝＋

⑶以速度v0匀速运动，而球拍的倾角为θ0＋β，并保持不变时，设空气阻力f0与重力mg的合力为F，方向仍然与水平方向成－θ0斜向后下方，因此有：F＝          ⑦

设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，根据牛顿第二定律有：Fsinβ＝ma′             ⑧

设匀加速运动的位移为s1，根据匀变速直线运动规律有：s1＝          ⑨

根据几何关系可知，匀速运动的位移为：s2＝s－s1           ⑩

根据匀速运动规律可知，匀速运动阶段的时间为：t＝            ⑪

球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落的条件为：≤r            ⑫

由⑦⑧⑨⑩⑪⑫式联立解得：sinβ≤

考点：本题主要考查了共点力平衡条件、运动学公式和牛顿第二定律的应用问题，属于中档偏高题。