Question

(16分)如图所示，在高h₁＝1.2m的光滑水平台面上，质量m＝1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能E_p，若打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度v₁向右滑离平台，并恰好能从B点的切线方向进入光滑圆弧形轨道BC，B点的高度h₂＝0.6m，其圆心O与平台等高，C点的切线水平，并与地面上长为L＝2.8m的水平粗糙轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动与右边墙壁发生碰撞，取g＝10m/s²。

⑴求小物块由A到B的运动时间；

⑵小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能E_p是多大？

⑶若小物块与墙壁碰撞后速度方向反向，大小为碰前的一半，且只发生一次碰撞，则小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ的取值范围多大？

Answer

 ⑴t＝0.346s；⑵Ep＝2J；⑶≤μ＜。

【解析】

试题分析：⑴小物块由A运动到B的过程中，只受重力作用，做平抛运动，在竖直方向上根据自由落体运动规律可知，小物块由A运动到B的时间为：t＝＝s≈0.346s

⑵根据图中几何关系可知，h2＝h1(1－cos∠BOC)，解得：∠BOC＝60°

设小物块离开桌面时的速度为v1，根据平抛运动规律有：tan60°＝，解得：v1＝2m/s

根据能的转化与守恒可知，小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能为：Ep＝＝2J

⑶据题意知，μ的最大值对应的是物块撞墙前瞬间的速度无限小，根据能量关系有：mgh1＋Ep＞μmgL

解得：μ＜

对于μ的最小值求解，首先应判断物块第一次碰墙反弹后，能否沿圆轨道滑离B点，设物块在D处的速度为v2，由能量关系有：mgh2＋Ep＝μmgL＋

第一次碰墙后返回至C处的动能为：EkC＝－μmgL

即使当μ＝0，有：＝8J，＝2J＜mgh2＝6J，即小物块返回时不能滑至B点

在上述分析下，μ的最小值对应着物块撞后回到圆轨道最高某处，又下滑经C恰好至D点停止，因此有：≤2μmgL，解得：μ≥

所以满足题目条件的动摩擦因数μ的取值范围为：≤μ＜

考点：本题主要考查了平抛运动规律、功能关系的应用，以及临界条件的分析能力问题，属于较难题。