Question

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC， D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

（1）求证：AB⊥平面PCB；

（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；

Answer

（1）见解析；（2）. 

【解析】

试题分析：（1）主要考虑证明AB垂直于平面PCB内的两条相交直线.根据PC⊥平面ABC，AB平面ABC，得到PC⊥AB.根据CD⊥平面PAB，AB平面PAB，得到OC⊥AB.因此AB平面PCB.

（2）有两种思路，

一是“几何法”，通过“一作，二证，三计算”确定异面直线PA与BC所成的角为.

二是“向量法”，以B为原点，建立如图所示的坐标系.通过确定向量的坐标

利用

得到异面直线AP与BC所成的角为 

试题解析：解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.      2分

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴OC⊥AB.    3分

又PCCD=C，∴AB平面PCB.      4分

（2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连接PF，CF.

则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.      5分

由（1）可得AB⊥BC,∴CF⊥AF.

由三垂线定理，得PF⊥AF。

则AF=CF=

在Rt△PFA中，          

∴异面直线PA与BC所成的角为.      12分

解法二：（1）同解法一.

（2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=

以B为原点，建立如图所示的坐标系.

则A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）.

      8分

则

∴异面直线AP与BC所成的角为      12分

考点：直线与平面的垂直关系，异面直线所成的角，空间向量的应用.