Question

(16分)一轻质细绳一端系一质量为m＝0.05kg的小球A，另一端挂在O点，O到小球的距离为L＝0.1m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图所示，水平距离s＝2m．现有一滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，与小球发生碰撞，每次碰后，滑块与小球速度均互换，已知滑块与挡板碰撞时不损失机械能，水平面与滑块间的动摩擦因数为μ＝0.25，若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g取10m/s²．试问：

⑴若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后，使小球恰好在竖直平面内做圆周运动，求此高度h；

⑵若滑块B从h′＝5m处下滑与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完整圆周运动的次数．

Answer

 ⑴h＝0.5m；⑵n＝10

【解析】

试题分析：⑴小球恰能完成一次完整的圆周运动，设它到最高点的速度为v0，在最高点由重力mg提供小球运动的向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式有：mg＝

在小球从最低点运动到最高点的过程中，机械能守恒，并设小球此时在最低点速度为v1，根据机械能守恒定律有：－＝2mgL

根据题意可知，滑块滑至与小球碰撞前瞬间的速度也为v1，在滑块由h高度处运动至与小球相碰前瞬间的过程中根据动能定理有：mgh－μmg＝－0

联立以上各式，并代入数据解得：h＝0.5m

滑块与小球碰撞后将静止不动，随后小球运动一周后又与滑块相撞，滑块获得前一次碰前的速度向右运动，与挡板碰后又无能量损失地返回与小球发生第三次碰撞，…，设滑块最后以速度vn碰撞小球后，刚好能使其完成第n次完整圆周运动，根据动能定理有：mgh′－μmg(n－1＋)s＝－0

根据上述分析可知：vn＝v1

联立以上各式解得：n＝10

考点：本题主要考查了动能定理、机械能守恒定律、牛顿第二定律、向心力公式的应用以及临界条件的分析能力问题，属于中档偏高题。