Question

（18分）如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。y<0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第一象限的空间内有与x轴平行的匀强电场（图中未画出）；第四象限有与x轴同方向的匀强电场；第三象限也存在着匀强电场（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为q的带电微粒从第一象限的P点由静止释放，恰好能在坐标平面内沿与x轴成θ=30°角的直线斜向下运动，经过x轴上的a点进入y<0的区域后开始做匀速直线运动，经过y轴上的b点进入x<0的区域后做匀速圆周运动，最后通过x轴上的c点，且Oa=Oc。已知重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。求：

（1）微粒的电性及第一象限电场的电场强度E₁；

（2）带电微粒由P点运动到c点的过程中，其电势能的变化量大小；

（3）带电微粒从a点运动到c点所经历的时间。

Answer

（1）mg/q，方向水平向左（或沿x轴负方向）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（1）在第一象限内，带电微粒从静止开始沿Pa做匀加速直线运动，受重力mg和电场力qE1的合力一定沿Pa方向，电场力qE1一定水平向左。 1分

带电微粒在第四象限内受重力mg、电场力qE2和洛仑兹力qvB做匀速直线运动，所受合力为零。分析受力可知微粒所受电场力一定水平向右，故微粒一定带正电。 1分

所以，在第一象限内E1方向水平向左（或沿x轴负方向）。 1分

根据平行四边形定则，有 mg=qE1tanθ 1分

解得 E1=mg/q 1分

（2）带电粒子从a点运动到c点的过程中，速度大小不变，即动能不变，且重力做功为零，所以从a点运动到c点的过程中，电场力对带电粒子做功为零。 1分

由于带电微粒在第四象限内所受合力为零，因此有 qvBcosθ=mg 1分

带电粒子通过a点的水平分速度vx=vcosθ= 1分

带电粒子在第一象限时的水平加速度ax=qE1/m=g 1分

带电粒子在第一象限运动过程中沿水平方向的位移x= 0.5分

由P点到a点过程中电场力对带电粒子所做的功W电=qE1x= 1分

因此带电微粒由P点运动到c点的过程中，电势能的变化量大小

ΔE电= 0.5分

说明：其他方法正确的同样得分。但用动能定理的水平分量式求解的不能得分。

（3）在第三象限内，带电微粒由b点到c点受重力mg、电场力qE3和洛仑兹力qvB做匀速圆周运动，一定是重力与电场力平衡，所以有qE3=mg 1分

设带电微粒做匀速圆周运动的半径为R，

根据牛顿第二定律，有 qvB=mv2/R 1分

带电微粒做匀速圆周运动的周期 T= 1分

带电微粒在第三象限运动的轨迹如图所示，连接bc弦，因Oa=Oc，所以Δabc为等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°。过b点做ab的垂线，与x轴交于d点，因∠Oba=60°，所以∠Obd=30°, 因此Δbcd为等腰三角形，bc弦的垂直平分线必交于轴上的d点,即d点为圆轨迹的圆心 1分

所以带电粒子在第四象限运动的位移xab=Rcotθ=R

其在第四象限运动的时间t1= 1分

由上述几何关系可知，带电微粒在第三象限做匀速圆周运动转过的圆心角为120°，即转过1/3圆周，所以从b到c的运动时间 t2= 1分

因此从a点运动到c点的时间 t=t1+t2=+= 1分

考点：牛顿第二定律，电场力做功，电势能等。