Question

（16分）某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。装置的长为 L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。

（1）求磁场区域的宽度h；

（2）欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；

（3）欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值。

Answer

（1）h＝（－）（1－）；（2）Δv＝（－）；（3）vn＝（－）（2≤n＜，n取整数）

【解析】

试题分析：（1）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，依题意作出带电粒子的运动轨迹如下图所示。

由图中几何关系有：L＝3rsin30°＋，h＝r（1－cos30°）

解得：h＝（－）（1－）

（2）设带电粒子初始入射速度为v1，改变速度后仍然经过上方的磁场区域一次后到达N点，此时速度的改变量最小，设为v2，粒子改变速度后，在磁场中运动的轨道半径为r′，带电粒子的运动轨迹如下图所示。

由图中几何关系有：L＝4r′sin30°＋

根据牛顿第二定律和洛伦兹力大小公式有：qv1B＝，qv2B＝

粒子入射速度的最小变化量Δv＝|v2－v1|

联立以上各式解得：Δv＝（－）

（3）粒子可能从上方磁场出来后经过M点，也可能从下方磁场出来后经过M点，不妨假设粒子共n次经过了磁场区域到达了M点，此时在磁场中运动的轨道半径为rn，速度为vn，根据牛顿第二定律和洛伦兹力大小公式有：qvnB＝

根据几何关系有：L＝2nrnsin30°＋

解得：vn＝（－）

由于粒子经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点，因此粒子不可能只经过上方一次射出后直接到达M点，因此有：n≥2

又因为，粒子必须能够经过磁场改变其运动速度的方向才能到达M点，因此满足n＜＝

所以：vn＝（－）（其中2≤n＜，且n为整数）

考点：本题主要考查了带电粒子在有界磁场中的运动问题，属于中档偏高题。