Question

如图甲，直角坐标系xOy在竖直平面内，x轴上方（含x轴）区域有垂直坐标系xOy向里的匀强磁场，磁感应强度B₀=T；在x轴下方区域有正交的匀强电场和磁场，场强E随时间t的变化关系如图乙，竖直向上为电场强度正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图丙，垂直xOy平面为磁场的正方向。光滑的绝缘斜面在第二象限，底端与坐标原点O重合，与负x轴方向夹角θ=30°。

一质量m=1×10^-5kg、电荷量q=1×10^-4C的带正电的粒子从斜面上A点由静止释放，运动到坐标原点时恰好对斜面压力为零，以此时为计时起点。求：

（1）释放点A到坐标原点的距离L；

（2）带电粒子在t=2.0s时的位置坐标；

（3）在垂直于x轴的方向上放置一俘获屏，要使带电粒子垂直打在屏上被俘获，屏所在位置的横坐标应满足什么条件？

Answer

（1）0.1m；（2）（，）；（3）（n=0，1，2，3......）

【解析】

试题分析：（1）设带电粒子在斜面上运动的加速度为a，在坐标原点速度为v，则

mgsinθ=ma

qvB=mgcosθ

v2=2aL

解得 v =1m/s，L=0.1m

（2）在0—1s，由乙图知E1=1N/C，由丙图知，由于有qE1 = mg，且带电粒子垂直磁场方向进入磁场，所以带电粒子做匀速圆周运动，设其轨道半径为r1，运动周期为T1，则

解得 m，T1=12 s

在0—1s，设带电粒子做圆周运动转过圆心角为θ1，则θ1=30°

在1—2s，由乙图知E2=1N/C，由丙图知T，由于有qE2= mg，且带电粒子运动方向垂直磁场，所以带电粒子做匀速圆周运动，设其轨道半径为r2，运动周期为T2，则

解得 m，T2=4 s

在1—2s，设带电粒子做圆周运动转过圆心角为θ2，则θ2=90°

在0—2s内带电粒子运动轨迹如图，设t=2s时，粒子所在位置坐标为（x0，y0），则

所以，t=2s时，粒子所在位置坐标为

（，）

（3）在2—3s内，由乙图知E3=1.2N/C，由丙图知B3=0，由于有qE3>mg ，带电粒子运动方向沿负y轴即竖直向下，所以先向下做匀减速直线运动，设减速运动的加速度大小为a，减速到零经过的时间为t0，则

qE3－mg = ma

v=at0

解得 t0=0.5 s

然后粒子向上加速运动0.5s，回到2s末的位置，速度大小也与2s末时相同，方向竖直向上。

在3—5s内，由乙图知E4=1N/C，由丙图知T，做半个圆周运动，运动方向竖直向下；在5—6s内，重复2—3s内的运动；在6—8s内，重复3—5s内的运动。以后循环，运动轨迹如图所示。设俘获器放置的位置横坐标为x，则

（n=0，1，2，3......）

即 （n=0，1，2，3......）

考点：带电粒子在复合场中的运动。