Question

某电视娱乐节目装置可简化为如图所示模型．倾角θ＝37°的斜面底端与水平传送带平滑接触，传送带BC长L＝6m，始终以v₀＝6m/s的速度顺时针运动．将一个质量m＝1kg的物块由距斜面底端高度h₁＝5.4m的A点静止滑下，物块通过B点时速度的大小不变．物块与斜面、物块与传送带间动摩擦因数分别为μ₁＝0.5、μ₂＝0.2，传送带上表面距地面的高度H＝5m，g取10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。

⑴求物块由A点运动到C点的时间；

⑵若把物块从距斜面底端高度h₂＝2.4m处静止释放，求物块落地点到C点的水平距离；

⑶求物块距斜面底端高度满足什么条件时，将物块静止释放均落到地面上的同一点D．

Answer

⑴4s；⑵6m；⑶1.8m≤h≤9.0m

【解析】

试题分析：⑴A到B过程：根据牛顿第二定律mgsinθ－μ1mgcosθ＝ma1

根据匀变速直线运动规律有：＝

代入数据解得：a1＝2m/s2，t1＝3s

所以滑到B点的速度：vB＝a1t1＝2×3m/s＝6m/s

物块在传送带上匀速运动到C，t2＝＝s＝1s

所以物块由A到B的时间：t＝t1＋t2＝3s＋1s＝4s

⑵斜面上由根据动能定理mgh2－μ1mgcosθ＝

解得v＝4m/s＜6m/s

设物块在传送带先做匀加速运动达v0，运动位移为x，则：a2＝＝μ2g＝2m/s2

根据匀变速直线运动速度位移关系式有：－v2＝2a2x

解得：x＝5m＜6m

所以物体先做匀加速直线运动后和皮带一起匀速运动，离开C点做平抛运动，根据平抛运动规律有：

s＝v0t0，H＝，解得：s＝6m

⑶因物块每次均抛到同一点D，由平抛知识知：物块到达C点时速度必须有：vC＝v0

①当离传送带高度为h3时物块进入传送带后一直匀加速运动，则：mgh3－μ1mgcosθ＋μ2mgL＝

解得：h3＝1.8m

②当离传送带高度为h4时物块进入传送带后一直匀减速运动，则：mgh4－μ1mgcosθ－μ2mgL＝

解得：h4＝9.0m

所以当离传送带高度在1.8m～9.0m的范围内均能满足要求，即1.8m≤h≤9.0m

考点：本题主要考查了牛顿第二定律、匀变速直线运动规律、平抛运动规律、功能关系的应用问题，属于中档题。