Question

（1）开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等.实践证明，开普勒三定律也适用于其他中心天体的卫星运动。

（２）从地球表面向火星发射火星探测器.设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径R_m为地球轨道半径R_０的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行星。第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上.当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图所示，问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面?(时间计算仅需精确到日)，已知地球半径为：；；

Answer

4月7日

【解析】

(题中信息：“从地面向火星发射火星探测器的两个步骤……”，表明：为使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的发动机，使探测器沿椭圆轨道到达火星轨道的相切点，同时，火星也恰好运行到该点，为此必须首先确定点燃时刻两者的相对位置)因探测器在地球公转轨道运行周期与地球公转周期相等：探测器在点火前绕太阳转动角速度

       ωｄ＝ωｅ＝＝

由(题中信息)开普勒第三定律得：探测器在椭圆轨道上运行周期：T′ｄ＝Ｔｅ＝365×1.400天＝510天

因此，探测器从点火到到达火星所需时间：

t＝＝

火星公转周期：

Tm＝Ｔｅ＝

火星绕太阳转动的角速度：

由于探测器运行至火星需255天，在此期间火星绕太阳运行的角度：

即：探测器在椭圆轨道近日点点火时，火星在远日点的切点之前137°.

亦即，点燃火箭发动机时，探测器与火星角距离应为

（如图)

已知某年3月1日零时，探测器与火星角距离为60°（火星在前，探测器在后)为使其角距离变为，必须等待时间

则：

所以：

故点燃发动机时刻应为当年3月1日后38天，即4月7日.