Question

假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球质量为M，半径为R，自转的周期为T，引力常量为G。求：

（1）地球同步卫星距离地面的高度H；

（2）地球表面在两极的重力加速度g；

（3）地球表面在赤道的重力加速度g₀。

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）假设一颗质量为m1的同步卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R+H。

根据牛顿第二定律有（万有引力提供向心力）

所以 （3分）

（2）因为在两极地球自转的半径为零，因此物体所受的重力与地球对物体的万有引力相等。设在地球极点处一物体的质量为m2。则有

所以 （3分）

（3）方法一：

假设一个质量为m3的物体放在赤道地面，由于物体随地球自转，需要一个向心力，这个向心力由万有引力与地面对物体支持力的合力提供，即有。

而这个物体静止在地面上，我们可以认为，所以有

所以…………（3分）

方法二：

重力是万有引力的分力。如图1，当某物体在地球表面时，由于物体要随地球一起自转（做匀速圆周运动，轨迹为所处的纬度线，圆心为O2），万有引力F万的分力提供物体做圆周运动所需的向心力F向；万有引力F万的另一个分力就是我们所说的重力G。

图1 图2

当物体所处的纬度不同时，物体随地球自转的轨道半径r不同，而地球自转的角速度ω是不变的，因为，所以F向会随纬度不同而变化；如果将地球视为均匀球体，则地球对该物体的万有引力F万不变，则万有引力F万的另一个分力——重力G会相应发生变化。具体来说，物体离赤道越近，物体做圆周运动的轨道半径r越大，F向越大，物体的重力G就越小，此处的重力加速度g0就越小；物体离极点越近，r越小，F向越小，G越小，g0越小。（从赤道到两极，同一物体所受的重力越来越大，重力加速度越来越大。）

注：实际情况中，F向相对万有引力来说很小（在图中F向应该很短为了能看清楚，故意画长了），物体的重力G与万有引力F万是很接近的，所以很多情况下，我们可以认为（方向也很接近）。

在题中，当物体在赤道上时，F万、F向和G是在同一直线上的，如图2。则三者之间的数值可表示为，也就是，由此式可求得。

考点：考查了万有引力定律的应用