Question

如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M＝1.0 kg的木板与轻弹簧接触但不拴接，弹簧与斜面平行且为原长，在木板右上端放一质量为m＝2. 0 kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为μ₁＝0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为μ₂＝0.25，系统处于静止状态．小金属块突然获得一个大小为v₁＝5.3 m/s、方向平行斜面向下的速度，沿木板向下运动．当弹簧被压缩x＝0.5 m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动．设金属块从开始运动到与木块达到相同速度共用时间t＝0.75 s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sin θ＝0.28、cos θ＝0.96，g取10 m/s²，结果保留二位有效数字．

(1)求木板开始运动瞬间的加速度；

(2)求弹簧被压缩到P点时的弹性势能是多少？

(3)假设木板在由P点压缩弹簧到弹回到P点过程中不受斜面摩擦力作用，木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离？

Answer

（1）10 m/s2，沿斜面向下（2）3.0 J（3）s＝0.077 m

【解析】

试题分析：(1)对金属块，由牛顿第二定律可知加速度大小为

a＝μ1gcos θ－gsin θ＝4.4 m/s2，沿斜面向上(1分)

木板受到金属块的滑动摩擦力F1＝μ1mgcos θ＝14.4 N，沿斜面向下(1分)

木板受到斜面的滑动摩擦力

F2＝μ2(M＋m)gcos θ＝7.2 N，沿斜面向上(1分)

木板开始运动瞬间的加速度a0＝＝10 m/s2，沿斜面向下(1分)

(2)设金属块和木板达到共同速度为v2，对金属块，应用速度公式有v2＝v1－at＝2.0 m/s(1分)

在此过程中分析木板，设弹簧对木板做功为W，其余力做功为Ma0x，

对木板运用动能定理得：Ma0x＋W＝ (1分)

解得W＝－3.0 J，说明此时弹簧的弹性势能Ep＝3.0 J(1分)

(3)金属块和木板达到共速后压缩弹簧，速度减小为0后反向弹回，设弹簧恢复原长时木板和金属块的速度为v3，在此过程中对木板和金属块，由能量的转化和守恒得：

Ep－(F2＋Mgsin θ＋mgsin θ)x＝(M＋m)－(M＋m)(2分)

木板离开弹簧后，设滑行距离为s，由动能定理得：

－(M＋m)g(μ2cos θ＋sin θ)s＝－ (M＋m)(2分)

解得s＝0.077 m(1分)

考点：考查了动能定理，能量守恒定律，牛顿第二定律，运动学公式