Question

如图甲所示，BCD为竖直放置的半径R=0.20m的半圆形轨道，在半圆形轨道的最低位置B和最高位置D均安装了压力传感器，可测定小物块通过这两处时对轨道的压力F_B和F_D。半圆形轨道在B位置与水平直轨道AB平滑连接，在D位置与另一水平直轨道EF相对，其间留有可让小物块通过的缝隙。一质量m=0.20kg的小物块P（可视为质点），以不同的初速度从M点沿水平直轨道AB滑行一段距离，进入半圆形轨道BCD经过D位置后平滑进入水平直轨道EF。一质量为2m的小物块Q（可视为质点）被锁定在水平直轨道EF上，其右侧固定一个劲度系数为k=500N/m的轻弹簧。如果对小物块Q施加的水平力F≥30N，则它会瞬间解除锁定沿水平直轨道EF滑行，且在解除锁定的过程中无能量损失。已知弹簧的弹性势能公式,其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量。g取10m/s²。

（1）通过传感器测得的F_B和F_D的关系图线如图乙所示。若轨道各处均不光滑，且已知轨道与小物块P之间的动摩擦因数μ=0.10，MB之间的距离x_MB=0.50m。当 F_B=18N时，求：

①小物块P通过B位置时的速度v_B的大小；

②小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能；

（2）若轨道各处均光滑，在某次实验中，测得P经过B位置时的速度大小为m/s。求在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能。

Answer

（1）①4.0m/s②0.50J （2）1.37J

【解析】

试题分析：（1）①设小物块P在B、D两位置受轨道弹力大小分别为NB、ND，速度大小分别为vB、vD。

根据牛顿第三定律可知

小物块P通过B位置时，根据牛顿第二定律有

解得：vB=4.0m/s

②小物块P从M到B所损失的机械能为：ΔE1=μmgxMB=0.10J

小物块P通过D位置时，根据牛顿第二定律有

解得：vD=2.0m/s

小物块P由B位置运动到D位置的过程中，克服摩擦力做功为Wf，

根据动能定理有－

解得：Wf=0.40J

小物块P从B至D的过程中所损失的机械能ΔE2=0.40J

小物块P从M点运动到轨道最高点D的过程中所损失的机械能ΔE=0.50J

（2）在轨道各处均光滑的情况下，设小物块P运动至B、D位置速度大小分别为vB′、vD′。

根据机械能守恒定律有：

解得：vD′=4.0m/s

小物块P向小物块Q运动，将压缩弹簧，当弹簧的压缩量x=F/k时，小物块Q恰好解除锁定。设小物块P以vx速度大小开始压缩弹簧，当其动能减为零时，刚好使小物块Q解除锁定。

根据能量守恒有

解得：vx=3.0m/s

由于vD′＞vx，因此小物块Q被解除锁定后，小物块P的速度不为零，设其速度大小为，

根据能量守恒有

解得：vP=m/s

当小物块Q解除锁定后，P、Q以及弹簧组成的系统动量守恒，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大。

根据动量守恒定律有：

弹簧的最大弹性势能J

考点：动量守恒定律；能量守恒；牛顿第二定律。